S-MT1.4 : (5points) Un fermier possède dans sa ferme des chevaux des vaches, des moutons et des chèvres. On désigne par x, y,z,t respectivementle nombre de chevaux, vaches, moutons et chèvres. On suppose que les nombres x, y, z, t sont dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite arithmétique. 1^circ / Sachant qu'il y a 5 chevaux et que le nombre total des animaux de la ferme est 56, déterminer les nombres x y, z, t. (1,5pt) 2^circ / Un voleur s'infiltre dans la ferme et emporte 3 des animaux. Sachant que le prix de vente des animaux est 250000F pour un cheval, 200000F pour une vache, 75000F pour un mouton et 37500F pour une chèvre,déterminer : a) La perte minimale du fermier et la probabilité de cette perte. (1,5pt) b) La perte maximale du fermier et la probabilité de cette perte. (1pt) c) La probabilité que le fermier perde 150000F. (1pt)

Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes demandées :<br /><br />$1^{\circ}$ Sachant qu'il y a 5 chevaux et que le nombre total des animaux de la ferme est 56, déterminer les nombres x, y, z, t.<br /><br />Nous savons que les nombres x, y, z, t sont dans cet ordre, les termes consécutifs d'une suite arithmétique. Donc, nous pouvons écrire :<br /><br />x = 5<br />y = x + d<br />z = y + d<br />t = z + d<br /><br />Le nombre total des animaux de la ferme est 56, donc :<br /><br />x + y + z + t = 56<br /><br />En substituant les valeurs de x, y, z, t, nous obtenons :<br /><br />5 + (5 + d) + (5 + 2d) + (5 + 3d) = 56<br /><br />En simplifiant cette équation, nous trouvons :<br /><br />15 + 6d = 56<br /><br />6d = 41<br /><br />d = 41/6<br /><br />Donc, les nombres x, y, z, t sont :<br /><br />x = 5<br />y = 5 + 41/6 = 61/6<br />z = 61/6 + 41/6 = 102/6 = 17<br />t = 17 + 41/6 = 183/6 = 30.5<br /><br />$2^{\circ}$ Un voleur s'infiltre dans la ferme et emporte 3 des animaux. Sachant que le prix de vente des animaux est $250000F$ pour un cheval, $200000F$ pour une vache, 75000F pour un mouton et 37500F pour une chèvre, déterminer :<br /><br />a) La perte minimale du fermier et la probabilité de cette perte.<br /><br />La perte minimale du fermier se produit lorsque les animaux les moins chers sont emportés. Dans ce cas, les animaux emportés sont 3 moutons. Donc, la perte minimale est :<br /><br />3 * 75000F = 225000F<br /><br />La probabilité de cette perte se produit lorsque les 3 moutons sont emportés. Donc, la probabilité est :<br /><br />P(3 moutons emportés) = C(3,3) / C(22,3) = 1 / 2024 = 0.000495<br /><br />b) La perte maximale du fermier et la probabilité de cette perte.<br /><br />La perte maximale du fermier se produit lorsque les animaux les plus chers sont emportés. Dans ce cas, les animaux emportés sont 3 chevaux. Donc, la perte maximale est :<br /><br />3 * 250000F = 750000F<br /><br />La probabilité de cette perte se produit lorsque les 3 chevaux sont emportés. Donc, la probabilité est :<br /><br />P(3 chevaux emportés) = C(5,3) / C(22,3) = 10 / 2024 = 0.004945<br /><br />c) La probabilité que le fermier perde $150000F.<br /><br />La probabilité que le fermier perde $150000F se produit lorsque les animaux emportés ont un total de $150000F. Donc, la probabilité est :<br /><br />P(150000F perdu) = P(2 chevaux et 1 vache) + P(1 cheval et 2 moutons) + P(3 chèvres)<br /><br />P(2 chevaux et 1 vache) = C(5,2) * C(5,1) / C(22,3) = 10 * 5 / 2024 = 0.024390<br />P(1 cheval et 2 moutons) = C(5,1) * C(3,2) / C(22,3) = 5 * 3 / 2024 = 0.007353<br />P(3 chèvres) = C(5,0) * C(3,3) / C(22,3) = 1 * 1 / 2024 = 0.000495<br /><br />Donc, la probabilité est :<br /><br />P(150000F perdu) = 0.024390 + 0.007353 + 0.000495 = 0.032238