7 (1.0) Prove que: (a) Se cgt 0 então md (ca,cb)=c.mdc(a,b) (b) Aplicando o item acima, encontre quais são os valores de a,bin Z com agt 0 que satisfazem mdc(ab,a)=1

(a) Para provar que se \( c > 0 \) então \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \), vamos usar a propriedade da divisão euclidica.<br /><br />Vamos considerar \( d = \text{mdc}(a, b) \). Então, existem inteiros \( m \) e \( n \) tais que \( a = md \) e \( b = nd \).<br /><br />Agora, vamos considerar \( ca \) e \( cb \). Podemos escrever \( ca = c \cdot a = c \cdot md \) e \( cb = c \cdot b = c \cdot nd \).<br /><br />Vamos mostrar que \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \).<br /><br />Seja \( d' = \text{mdc}(ca, cb) \). Então, \( d' \) divide tanto \( ca \) quanto \( cb \).<br /><br />Como \( d' \) divide \( ca \), podemos escrever \( ca = d' \cdot k \) para algum inteiro \( k \).<br /><br />Além disso, como \( d' \) divide \( cb \), podemos escrever \( cb = d' \cdot l \) para algum inteiro \( l \).<br /><br />Agora, vamos mostrar que \( d' \) divide \( c \cdot \text{mdc}(a, b) \).<br /><br />Como \( d = \text{mdc}(a, b) \), podemos escrever \( a = md \) e \( b = nd \).<br /><br />Então, \( c \cdot \text{mdc}(a, b) = c \cdot d \).<br /><br />Como \( d' \) divide tanto \( ca \) quanto \( cb \), também divide \( c \cdot d \).<br /><br />Portanto, \( d' \) divide \( c \cdot \text{mdc}(a, b) \).<br /><br />Assim, \( \text{mdc}(ca, cb) = c \cdot \text{mdc}(a, b) \).<br /><br />(b) Aplicando o item acima, queremos encontrar \( a, b \in \mathbb{Z} \) com \( a > 0 \) que satisfazem \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \).<br /><br />Se \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \), então \( b \) deve ser invertível módulo \( a \), ou seja, \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).<br /><br />Portanto, os valores de \( a, b \in \mathbb{Z} \) que satisfazem \( \text{mdc}(ab, a) = 1 \) são aqueles em que \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).