teorema de Taylor é uma ferramenta poderosa no cálculo para aproximar funções por meio de polinómios. Sua são fundamentais em várias áreas da matemática e da fisica Dada a função f(x)=sin(x) aplique o teorema de Taylor para encontrar a aproximação de segunda ordem para f(x encontre o polinômio de grau menor ou igual:a 2 que melhor aproxima f(x) para x próximo de x=0 Alternativas A) x-(x^3)/(3) B) -x+(x^2)/(2) C) x-(x^2)/(2) D) X E) 1-x+(x^2)/(2)

Para encontrar a aproximação de segunda ordem para a função \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \), podemos usar o teorema de Taylor. O teorema de Taylor nos permite expandir uma função em uma série de potências de \( x \) ao redor de um ponto dado.<br /><br />A aproximação de segunda ordem para \( f(x) \) em torno de \( x = 0 \) é dada por:<br /><br />\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 \]<br /><br />Para \( f(x) = \sin(x) \), temos:<br /><br />- \( f(0) = \sin(0) = 0 \)<br />- \( f'(x) = \cos(x) \), então \( f'(0) = \cos(0) = 1 \)<br />- \( f''(x) = -\sin(x) \), então \( f''(0) = -\sin(0) = 0 \)<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula de Taylor, obtemos:<br /><br />\[ f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 \]<br />\[ f(x) \approx x \]<br /><br />Portanto, a aproximação de segunda ordem para \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) é \( x \).<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />D) \( x \)