8 Sabendo que as express8es sqrt (x+sqrt (x-1))esqrt (7) tem o mesmo valor numérico, determine o valor do numero real x

Para resolver essa equação, vamos igualar as duas raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:<br /><br />$\sqrt{x + \sqrt{x - 1}} = \sqrt{7}$<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado:<br /><br />$x + \sqrt{x - 1} = 7$<br /><br />Agora, vamos isolar a raiz quadrada:<br /><br />$\sqrt{x - 1} = 7 - x$<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado novamente:<br /><br />$x - 1 = (7 - x)^2$<br /><br />Expandindo a expressão:<br /><br />$x - 1 = 49 - 14x + x^2$<br /><br />Reorganizando os termos:<br /><br />$x^2 - 15x + 50 = 0$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Onde a = 1, b = -15 e c = 50:<br /><br />$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$<br /><br />$x = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}$<br /><br />$x = \frac{15 \pm 5}{2}$<br /><br />Portanto, temos duas soluções:<br /><br />$x_1 = \frac{20}{2} = 10$<br /><br />$x_2 = \frac{10}{2} = 5$<br /><br />No entanto, para verificar se essas soluções são válidas, devemos substituir os valores de x na expressão original:<br /><br />Para $x = 10$:<br /><br />$\sqrt{10 + \sqrt{10 - 1}} = \sqrt{7}$<br /><br />$\sqrt{10 + 3} = \sqrt{7}$<br /><br />$\sqrt{13} = \sqrt{7}$<br /><br />Isso não é verdadeiro, então $x = 10$ não é uma solução válida.<br /><br />Para $x = 5$:<br /><br />$\sqrt{5 + \sqrt{5 - 1}} = \sqrt{7}$<br /><br />$\sqrt{5 + 2} = \sqrt{7}$<br /><br />$\sqrt{7} = \sqrt{7}$<br /><br />Isso é verdadeiro, então $x = 5$ é uma solução válida.<br /><br />Portanto, o valor do número real x é 5.