TRABALHO AVALIATIVO - 100 PONTOS 1) Sejam a e b números reais positivos . Mostre que se alt b , então a^2lt b^2 2) Sejam a e b racionais positivos tais que sqrt (ab) é irracional. Prove que sqrt (a)+sqrt (b) irracional.

1) Para mostrar que se $a < b$, então $a^2 < b^2$, podemos usar o método de prova por contradição. Suponha que $a^2 \geq b^2$. Então, $a^2 - b^2 \geq 0$. Fatorando a diferença de quadrados, temos $(a + b)(a - b) \geq 0$. Como $a$ e $b$ são números reais positivos, $a + b > 0$. Portanto, para que a desigualdade seja verdadeira, devemos ter $a - b \geq 0$, o que implica que $a \geq b$, o que contradiz a suposição de que $a < b$. Portanto, concluímos que $a^2 < b^2$.<br /><br />2) Para provar que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é irracional, dado que $\sqrt{ab}$ é irracional, vamos usar uma prova por contradição. Suponha que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é racional. Então, podemos escrever $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ são inteiros e $q \neq 0$. Multiplicando ambos os lados por $q$, temos $q(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = p$. Isso implica que $q\sqrt{a} + q\sqrt{b} = p$. Agora, elevando ambos os lados ao quadrado, temos $(q\sqrt{a} + q\sqrt{b})^2 = p^2$, o que simplifica para $q^2a + 2q^2\sqrt{ab} + q^2b = p^2$. Isso implica que $q^2ab + 2q^2\sqrt{ab} = p^2 - q^2a - q^2b$. Como $p$, $q$, $a$ e $b$ são inteiros, e $q^2ab$ é um múltiplo de $ab$, a expressão $2q^2\sqrt{ab}$ deve ser um múltiplo de $ab$ também. No entanto, isso é impossível, pois $\sqrt{ab}$ é irracional. Portanto, nossa suposição de que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é racional leva a uma contradição. Assim, concluímos que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é irracional.