5. Mostre que a sequência (x_(n)) dada por x_(n)=1+(1)/(2)+(1)/(3)+ldots +(1)/(n) é divergente.

Para mostrar que a sequência $$(x_{n})$$ é divergente, podemos usar o Teste da Integral.

Primeiro, vamos reescrever a soma em termos de integrais:

$$x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$$

Agora, vamos calcular o limite da sequência $$(x_{n})$$ quando $$n$$ tende ao infinito:

$$\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$$

O integral $$\int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx$$ representa a área sob a curva $$y = \frac{1}{x}$$ no intervalo de $$1$$ a $$n$$ . Quando $$n$$ tende ao infinito, essa área cresce indefinidamente. Portanto, o limite é infinito.

Como o limite da sequência $$(x_{n})$$ é infinito, podemos concluir que a sequência é divergente.