Considere a retar: ) x=3t y=-t z=1-t Avalie as asserçōes a seguin e a relacao proposta entre elas: | - A distância entre res éligual aizero. PORQUE ll-res são coplanares. A respeito dessas asserçōes , assinale a alternativa correta: a. A asserção lé uma proposição verdadeira, e a llé uma proposição falsa. b.As asserçōes I e II são proposições verdadeiras mas a ll não é uma justificativa correta da I. c.As asserçōes l e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. d.As asserçōes I e II são proposições falsas. éuma proposição falsa, e a IIé uma proposição verdadeira.

Vamos analisar as asserções e a relação proposta entre elas:<br /><br />1. **A distância entre as retas é igual a zero.**<br /> - **PORQUE**: As retas são coplanares.<br /><br />2. **As retas são coplanares.**<br /><br />Para avaliar a correta alternativa, precisamos verificar se as retas são coplanares e se a distância entre elas é zero.<br /><br />### Análise das retas:<br /><br />**Retas dada:**<br />- \( \{ \begin{matrix} x=3t\\ y=-t\\ z=1-t\end{matrix} \} \)<br />- \( s: \{ \begin{matrix} y=2x+1\\ z=0\end{matrix} \} \)<br /><br />**Retração das equações:**<br /><br />Para a reta \( d \):<br />- \( x = 3t \)<br />- \( y = -t \)<br />- \( z = 1 - t \)<br /><br />Para a reta \( s \):<br />- \( y = 2x + 1 \)<br />- \( z = 0 \)<br /><br />### Verificação de coplanaridade:<br /><br />Para verificar se as retas são coplanares, podemos verificar se um ponto da reta \( d \) também pertence à reta \( s \).<br /><br />Substituindo \( x = 3t \) e \( y = -t \) na equação da reta \( s \):<br /><br />\[ -t = 2(3t) + 1 \]<br />\[ -t = 6t + 1 \]<br />\[ -t - 6t = 1 \]<br />\[ -7t = 1 \]<br />\[ t = -\frac{1}{7} \]<br /><br />Substituindo \( t = -\frac{1}{7} \) na reta \( d \):<br /><br />\[ x = 3(-\frac{1}{7}) = -\frac{3}{7} \]<br />\[ y = -(-\frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \]<br />\[ z = 1 - (-\frac{1}{7}) = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7} \]<br /><br />Verificando se esses valores satisfazem a reta \( s \):<br /><br />\[ y = 2x + 1 \]<br />\[ \frac{1}{7} = 2(-\frac{3}{7}) + 1 \]<br />\[ \frac{1}{7} = -\frac{6}{7} + 1 \]<br />\[ \frac{1}{7} = -\frac{6}{7} + \frac{7}{7} \]<br />\[ \frac{1}{7} = \frac{1}{7} \]<br /><br />Portanto, os valores satisfazem a reta \( s \).<br /><br />### Distância entre as retas:<br /><br />Para calcular a distância entre duas retas coplanares, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos em 3D. No entanto, como já verificamos que um ponto da reta \( d \) pertence à reta \( s \), podemos concluir que a distância entre as retas é zero.<br /><br />### Conclusão:<br /><br />- A asserção I (distância entre as retas é igual a zero) é verdadeira.<br />- A asserção II (retas são coplanares) é verdadeira e é uma justificativa correta para a asserção I.<br /><br />Portanto, a alternativa correta é:<br /><br />c. As asserçōes I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.