2) Reduza, por meio de uma rotação e uma translação, a equação 9x^2-24xy+16y^2-20x+110y-50=0 a sua forma canônica , determine seu foco e diretriz, e mostre que a reta 4x+3y=15 é tangente à curva, determinando o ponto de tangência.

Para reduzir a equação \(9x^{2}-24xy+16y^{2}-20x+110y-50=0\) à sua forma canônica, podemos realizar uma rotação e uma translação.<br /><br />Primeiro, vamos realizar uma rotação para colocar a parábola na forma \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\). Para isso, vamos calcular os coeficientes \(A\), \(B\) e \(C\) da matriz de coeficientes da equação:<br /><br />\(A = 9\)<br />\(B = -24\)<br />\(C = 16\)<br /><br />Em seguida, vamos calcular o determinante da matriz:<br /><br />\(\Delta = B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(9)(16) = 576 - 576 = 0\)<br /><br />Como o determinante é igual a zero, a equação representa uma parábola. Agora, vamos calcular os coeficientes \(D\) e \(E\) usando as fórmulas:<br /><br />\(D = 2Ax - By = 2(9)x - (-24)y = 18x + 24y\)<br />\(E = 2Cy - Ax = 2(16)y - 9x = 32y - 9x\)<br /><br />Substituindo esses valores na equação original, temos:<br /><br />\(9x^{2}-24xy+16y^{2}+18x+24y-50=0\)<br /><br />Agora, vamos realizar uma translação para colocar a parábola na forma \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\). Para isso, vamos calcular os coeficientes \(D\) e \(E\) usando as fórmulas:<br /><br />\(D = 2Ax - By = 2(9)x - (-24)y = 18x + 24y\)<br />\(E = 2Cy - Ax = 2(16)y - 9x = 32y - 9x\)<br /><br />Substituindo esses valores na equação original, temos:<br /><br />\(9x^{2}-24xy+16y^{2}+18x+24y-50=0\)<br /><br />Agora, vamos determinar o foco e a diretriz da parábola. Para isso, vamos calcular os coeficientes \(A\), \(B\) e \(C\) da matriz de coeficientes da equação:<br /><br />\(A = 9\)<br />\(B = -24\)<br />\(C = 16\)<br /><br />Em seguida, vamos calcular o valor de \(p\) usando a fórmula:<br /><br />\(p = \frac{4AC - B^2}{4AC}\)<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />\(p = \frac{4(9)(16) - (-24)^2}{4(9)(16)} = \frac{576 - 576}{576} = 0\)<br /><br />Como o valor de \(p\) é igual a zero, a parábola é uma parábola vertical. Agora, vamos determinar o foco e a diretriz da parábola. O foco está localizado em \((h, k + p)\) e a diretriz é a reta \(y = k - p\).<br /><br />Para determinar o ponto de tangência da reta \(4x+3y=15\) com a curva, vamos substituir os valores de \(x\) e \(y\) na equação da parábola e igualá-la a zero. Em seguida, vamos substituir os valores de \(x\) e \(y\) na equação da reta e igualá-la a zero. O ponto de tangência será o ponto em que a reta toca a parábola.<br /><br />Para determinar se a reta \(4x+3y=15\) é tangente à curva, precisamos verificar se o ponto de tangência satisfaz ambas as equações da parábola e da reta. Se o ponto de tangência satisfaz ambas as equações, então a reta é tangente à curva.