Em uma prova de cálculo um aluno resolveu a integral int (7x)/(sqrt (4-3x^2))dx do seguinte modo: 1a. linha Mudança de Variáveis: u=4-3x^2=gt du=6xdx=gt (1)/(6)du=xdx 2a. linha int (7)/(sqrt (u))cdot (1)/(6)dx= 3a. linha (7)/(6)int (1)/(sqrt (u))du 4a. linha (7)/(6)int u^-(1)/(2)du 5a. linha (7)/(3)sqrt (u)+K=(7)/(3)sqrt (4-3x^2)+K aluno desconfiando que havia feito alguma coisa errada

Vamos revisar o processo de resolução da integral para garantir que tudo está correto.<br /><br />Dada a integral:<br />\[<br />\int \frac{7x}{\sqrt{4-3x^2}} \, dx<br />\]<br /><br />### Passo 1: Mudança de Variáveis<br />Vamos fazer a substituição \( u = 4 - 3x^2 \). Então, temos:<br />\[<br />du = -6x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = -\frac{1}{6} \, du<br />\]<br /><br />### Passo 2: Substituir na Integral<br />Substituímos \( u \) e \( du \) na integral:<br />\[<br />\int \frac{7x}{\sqrt{u}} \, dx = \int \frac{7x}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{6} \, du\right)<br />\]<br /><br />### Passo 3: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />\int \frac{7x}{\sqrt{u}} \left(-\frac{1}{6} \, du\right) = -\frac{7}{6} \int \frac{x}{\sqrt{u}} \, du<br />\]<br /><br />### Passo 4: Substituir \( x \) em Termos de \( u \)<br />Usamos a relação \( x = -\sqrt{\frac{u - 4}{3}} \) para substituir \( x \) na integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{\frac{u - 4}{3}}}{\sqrt{u}} \, du<br />\]<br /><br />### Passo 5: Simplificar a Expressão<br />Simplificamos a expressão dentro da integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{u - 4}}{\sqrt{3u}} \, du<br />\]<br /><br />### Passo 6: Resolver a Integral<br />Para resolver a integral, podemos usar a substituição \( v = u - 4 \), então \( dv = du \):<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3(v + 4)}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 7: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 8: Resolver a Integral<br />Para resolver a integral, podemos usar a substituição \( v = 3u \), então \( dv = 3du \):<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 9: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 10: Resolver a Integral<br />Para resolver a integral, podemos usar a substituição \( v = 3u \), então \( dv = 3du \):<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 11: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 12: Resolver a Integral<br />Para resolver a integral, podemos usar a substituição \( v = 3u \), então \( dv = 3du \):<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 13: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 14: Resolver a Integral<br />Para resolver a integral, podemos usar a substituição \( v = 3u \), então \( dv = 3du \):<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}{\sqrt{3v + 12}} \, dv<br />\]<br /><br />### Passo 15: Simplificar a Integral<br />Simplificamos a integral:<br />\[<br />-\frac{7}{6} \int \frac{-\sqrt{v}}