Seja S= (5,-3,2,0),(0,3,-4,-3),(-2,-4,3,-3) Cl^4 Escolha o vetor v abaixo tal que Scup v seja LI. Escolha uma opção: a. v=(7,7,-9,-3) b. v=(2,4,-3,3) C. v=(5,0,-2,-3) d. v=(-8,4,1,9) e. v=(1,-1,4,1) Limpar minha escolha

Para determinar qual vetor \( v \) torna \( S \cup \{ v \} \) linearmente independente (LI), precisamos verificar se os vetores em \( S \cup \{ v \} \) são linearmente independentes.<br /><br />Primeiro, vamos escrever os vetores de \( S \):<br /><br />\[ S = \{ (5, -3, 2, 0), (0, 3, -4, -3), (-2, -4, 3, -3) \} \]<br /><br />Agora, vamos adicionar cada vetor \( v \) das opções à matriz formada pelos vetores de \( S \) e verificar a linearidade:<br /><br />a. \( v = (7, 7, -9, -3) \)<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -3 \\ -2 & -4 & 3 & -3 \\ 7 & 7 & -9 & -3 \end{pmatrix} \]<br /><br />b. \( v = (2, 4, -3, 3) \)<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -3 \\ -2 & -4 & 3 & -3 \\ 2 & 4 & -3 & 3 \end{pmatrix} \]<br /><br />c. \( v = (5, 0, -2, -3) \)<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -3 \\ -2 & -4 & 3 & -3 \\ 5 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} \]<br /><br />d. \( v = (-8, 4, 1, 9) \)<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -3 \\ -2 & -4 & 3 & -3 \\ -8 & 4 & 1 & 9 \end{pmatrix} \]<br /><br />e. \( v = (1, -1, 4, 1) \)<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -3 \\ -2 & -4 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]<br /><br />Para determinar a linearidade, podemos usar o método da eliminação Gaussiana ou calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. No entanto, para simplificar, podemos observar que a opção que torna a matriz não singular (ou seja, com determinante diferente de zero) é a que torna os vetores linearmente independentes.<br /><br />Após realizar as operações de eliminação Gaussiana em cada caso, encontramos que a matriz na opção **e** tem um determinante diferente de zero, indicando que os vetores são linearmente independentes.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />e. \( v = (1, -1, 4, 1) \)