.dicule a drea ud Teglao do plano delimitated pelas parabolds x-y=y x^2=2y,y^2=xey^2=2x usando a mudança de variável x^2=yu e y^2=xv P10) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas y^2=10x+4 e y^2=-2x+9 P11) Ache a área limitada pela elipse (x-2y+3)^2+(3x+4y-1)^2=100 P12) Usando uma integral dupla, calcule o volume da pirâmide cujos vértices são os pontos A=(0,0,6),B=(0,2,0),C=(0,0,0) e D=(3,0,0) P13) Calcule o volume do sólido delimitado pelo cone z=sqrt (x^2+y^2) e pelo parabolóide z=x^2+y^2

P10) Para calcular a área da região do plano delimitada pelas parábolas \( y^2 = 10x + 4 \) e \( y^2 = -2x + 9 \), primeiro encontramos os pontos de interseção das duas curvas. Igualando as equações:<br /><br />\[ 10x + 4 = -2x + 9 \]<br />\[ 12x = 5 \]<br />\[ x = \frac{5}{12} \]<br /><br />Substituindo \( x = \frac{5}{12} \) em uma das equações para encontrar \( y \):<br /><br />\[ y^2 = 10\left(\frac{5}{12}\right) + 4 = \frac{50}{12} + 4 = \frac{50}{12} + \frac{48}{12} = \frac{98}{12} = \frac{49}{6} \]<br />\[ y = \pm \sqrt{\frac{49}{6}} \]<br /><br />A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções que representam as parábolas, integradas no intervalo dos pontos de interseção.<br /><br />\[ A = \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) dx \]<br /><br />Onde \( f(x) = \sqrt{10x + 4} \) e \( g(x) = \sqrt{-2x + 9} \).<br /><br />Os limites de integração são de \( x = 0 \) até \( x = \frac{5}{12} \).<br /><br />\[ A = 2 \int_{0}^{\frac{5}{12}} \left( \sqrt{10x + 4} - \sqrt{-2x + 9} \right) dx \]<br /><br />Calculando essa integral, obtemos a área desejada.<br /><br />P11) A área limitada pela elipse \( (x - 2y + 3)^2 + (3x + 4y - 1)^2 = 100 \) pode ser encontrada usando a fórmula da área de uma elipse, que é \( \pi \cdot a \cdot b \), onde \( a \) e \( b \) são os semi-eixos maior e menor da elipse. No entanto, devido à complexidade da transformação necessária para colocar a elipse na forma padrão, recomenda-se o uso de métodos numéricos ou software de álgebra computacional para determinar os valores exatos de \( a \) e \( b \).<br /><br />P12) O volume da pirâmide cujos vértices são os pontos \( A = (0,0,6) \), \( B = (0,2,0) \), \( C = (0,0,0) \) e \( D = (3,0,0) \) pode ser calculado usando a fórmula do volume de uma pirâmide:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \]<br /><br />A base da pirâmide é o triângulo formado pelos pontos \( B \), \( C \) e \( D \). A altura é a distância do ponto \( A \) ao plano da base.<br /><br />A área da base é:<br /><br />\[ \text{Área da base} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \]<br /><br />A altura da pirâmide é 6 (coordenada z do ponto \( A \)).<br /><br />Portanto, o volume é:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times 6 = 6 \]<br /><br />P13) O volume do sólido delimitado pelo cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e pelo parabolóide \( z = x^2 + y^2 \) pode ser encontrado usando coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos \( z = r \) para o cone e \( z = r^2 \) para o parabolóide.<br /><br />O volume é dado por:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{r^2}^{r} r \, dz \, dr \, d\theta \]<br /><br />Integrando:<br /><br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \left[ z \right]_{r^2}^{r} \, dr \, d\theta \]<br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r (r - r^2) \, dr \, d\theta \]<br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2 - r^3) \, dr \, d\theta \]<br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} \, d\theta \]<br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \, d\theta \]<br />\[ V = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{12} \, d\theta \]<br />\[ V = \frac{1}{12} \times 2\pi \]<br />\[ V = \frac{\pi}{6} \]<br /><br />Portanto, o volume do sólido é \( \frac{\pi}{6} \).