ontos) Encontre o centro a , o raio de convergência Reo intervalo de convergência I da série sum _(k=1)^infty ((x+2)^k-1)/(k^2)

Para encontrar o centro a, o raio de convergência R e o intervalo de convergência I da série dada, podemos utilizar o teste da razão.<br /><br />A razão de uma série é dada pela razão entre dois termos consecutivos da série. Nesse caso, temos:<br /><br />razão = $\frac{a_{k+1}}{a_k}$<br /><br />Onde $a_k$ representa o k-ésimo termo da série.<br /><br />Aplicando o teste da razão, temos:<br /><br />$\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{\frac{(x+2)^k}{(k+1)^2}}{\frac{(x+2)^{k-1}}{k^2}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+2)^k \cdot k^2}{(x+2)^{k-1} \cdot (k+1)^2} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+2) \cdot k^2}{(k+1)^2} \right|$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+2) \cdot k^2}{k^2 + 2k + 1} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+2)}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}} \right|$<br /><br />Como k tende ao infinito, os termos $\frac{2}{k}$ e $\frac{1}{k^2}$ tendem a zero. Portanto, temos:<br /><br />$\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+2)}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}} \right| = \left| \frac{(x+2)}{1} \right| = |x+2|$<br /><br />Para que a série seja convergente, a razão deve ser menor que 1. Portanto, temos:<br /><br />$|x+2| < 1$<br /><br />Isso implica que o intervalo de convergência I é dado por:<br /><br />$-1 < x+2 < 1$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$-3 < x < -1$<br /><br />Portanto, o intervalo de convergência I da série é (-3, -1).<br /><br />Para encontrar o centro a e o raio de convergência R, podemos utilizar a fórmula do intervalo de convergência:<br /><br />$a = -2$<br /><br />$R = 1$<br /><br />Portanto, o centro a é -2 e o raio de convergência R é 1.