22 UFJF -MG 2022 Considere as circunfer encias: C_(1):x^2+y^2-6x-4y+4=0 C_(2):(x-7)^2+(y-4)^2=4 Determine a equação da reta que passa perpendi- cularmente pelo ponto médio do segmento de reta cujos extremos são os centros das circunferências C_(1) e C_(2)

Para determinar a equação da reta que passa perpendicularmente pelo ponto médio do segmento de reta cujos extremos são os centros das circunferências \(C_1\) e \(C_2\), siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Encontre os centros das circunferências \(C_1\) e \(C_2\):**<br /><br /> Para \(C_1\):<br /> \[<br /> C_1: x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0<br /> \]<br /> Reescreva a equação em forma padrão \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\):<br /> \[<br /> (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9<br /> \]<br /> Portanto, o centro de \(C_1\) é \((3, 2)\).<br /><br /> Para \(C_2\):<br /> \[<br /> C_2: (x - 7)^2 + (y - 4)^2 = 4<br /> \]<br /> O centro de \(C_2\) é \((7, 4)\).<br /><br />2. **Calcule o ponto médio do segmento de reta:**<br /><br /> O ponto médio \(M\) entre \((3, 2)\) e \((7, 4)\) é:<br /> \[<br /> M = \left( \frac{3 + 7}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( 5, 3 \right)<br /> \]<br /><br />3. **Determine a direção do segmento de reta:**<br /><br /> A direção do segmento de reta é dada pelo vetor \(\vec{d} = (7 - 3, 4 - 2) = (4, 2)\).<br /><br />4. **Calcule o vetor normal à reta:**<br /><br /> O vetor normal \(\vec{n}\) à reta é perpendicular ao vetor direção \(\vec{d}\). Para obter \(\vec{n}\), normalize \(\vec{d}\):<br /> \[<br /> \vec{n} = (2, -4)<br /> \]<br /><br />5. **Use a forma ponto-vetor para escrever a equação da reta:**<br /><br /> A forma ponto-vetor da equação da reta é:<br /> \[<br /> (x - 5, y - 3) = t(2, -4)<br /> \]<br /> Onde \(t\) é um parâmetro.<br /><br />Portanto, a equação da reta que passa perpendicularmente pelo ponto médio do segmento de reta cujos extremos são os centros das circunferências \(C_1\) e \(C_2\) é:<br />\[<br />(x - 5, y - 3) = t(2, -4)<br />\]<br />ou, em forma paramétrica:<br />\[<br />x = 5 + 2t<br />\]<br />\[<br />y = 3 - 4t<br />\]