Sabendo que pi lt alpha lt (pi )/(2) e senalpha =(3)/(5) qual o valor de cos(alpha -(pi )/(3)) A) (-4+3sqrt (3))/(10) B) (4-3sqrt (3))/(10) C) -(sqrt (3))/(10) D) (4+3sqrt (3))/(10) E) (-4-3sqrt (3))/(10)

Para resolver essa questão, podemos usar a identidade trigonométrica para o cosseno da diferença de dois ângulos:<br /><br />\[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \cos(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3}) \]<br /><br />Sabemos que \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) e \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \cos(\alpha)\cdot\frac{1}{2} + \sin(\alpha)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \]<br /><br />Como \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \), podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de \( \cos(\alpha) \):<br /><br />\[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} \]<br /><br />Substituindo esse valor na fórmula, temos:<br /><br />\[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2} + \frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{5} + \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção D) \( \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10} \).