6 Utilize o método de completar quadrados para resolver. no conjunto dos números reais, as equações abalxo. a) x^2-10x+24=0 b) x^2-2x-3=0 c) m^2+4m-32=0 d) 4u^2-20u=-25

Vamos resolver cada equação utilizando o método de completar quadrados:

a) $$x^{2}-10x+24=0$$

Primeiro, vamos isolar o termo constante:
$$x^{2}-10x=-24$$

Agora, vamos completar o quadrado adicionando $$\left(\frac{-10}{2}\right)^{2}=25$$ em ambos os lados da equação:
$$x^{2}-10x+25=-24+25$$
$$(x-5)^{2}=1$$

Agora, podemos resolver para $$x$$ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
$$x-5=\pm1$$

Portanto, as soluções são:
$$x=5+1=6$$ ou $$x=5-1=4$$

b) $$x^{2}-2x-3=0$$

Primeiro, vamos isolar o termo constante:
$$x^{2}-2x=3$$

Agora, vamos completar o quadrado adicionando $$\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=1$$ em ambos os lados da equação:
$$x^{2}-2x+1=3+1$$
$$(x-1)^{2}=4$$

Agora, podemos resolver para $$x$$ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
$$x-1=\pm2$$

Portanto, as soluções são:
$$x=1+2=3$$ ou $$x=1-2=-1$$

c) $$m^{2}+4m-32=0$$

Primeiro, vamos isolar o termo constante:
$$m^{2}+4m=32$$

Agora, vamos completar o quadrado adicionando $$\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=4$$ em ambos os lados da equação:
$$m^{2}+4m+4=32+4$$
$$(m+2)^{2}=36$$

Agora, podemos resolver para $$m$$ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
$$m+2=\pm6$$

Portanto, as soluções são:
$$m=-2+6=4$$ ou $$m=-2-6=-8$$

d) $$4u^{2}-20u=-25$$

Primeiro, vamos isolar o termo constante:
$$4u^{2}-20u+25=0$$

Agora, vamos completar o quadrado dividindo todos os termos por 4:
$$u^{2}-5u+\frac{25}{4}=0$$

Agora, vamos completar o quadrado adicionando $$\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$ em ambos os lados da equação:
$$u^{2}-5u+\frac{25}{4}=\frac{25}{4}$$
$$(u-\frac{5}{2})^{2}=\frac{25}{4}$$

Agora, podemos resolver para $$u$$ tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
$$u-\frac{5}{2}=\pm\frac{5}{2}$$

Portanto, as soluções são:
$$u=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=\frac{10}{2}=5$$ ou $$u=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0$$