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Dada a função f(x)=3x^5-10x^3 . com relação ao estudo da concavidade podemos afirmar que: Answer a. Se -1lt xlt 1arrow C.V.B. b. Se xlt -1arrow C.V.C C. Se 0lt xlt 1arrow C.V.C. d. Se -1lt xlt 0arrow C.V.C. e. Se xgt 1arrow C.V.B

Pergunta

Dada a função
f(x)=3x^5-10x^3
. com
relação ao estudo da concavidade podemos
afirmar que:
Answer
a. Se -1lt xlt 1arrow C.V.B.
b. Se xlt -1arrow C.V.C
C. Se 0lt xlt 1arrow C.V.C.
d. Se -1lt xlt 0arrow C.V.C.
e. Se xgt 1arrow C.V.B

Dada a função f(x)=3x^5-10x^3 . com relação ao estudo da concavidade podemos afirmar que: Answer a. Se -1lt xlt 1arrow C.V.B. b. Se xlt -1arrow C.V.C C. Se 0lt xlt 1arrow C.V.C. d. Se -1lt xlt 0arrow C.V.C. e. Se xgt 1arrow C.V.B

Solução

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JúlioMestre · Tutor por 5 anos

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Para determinar a concavidade da função f(x) = 3x^5 - 10x^3 , precisamos calcular sua segunda derivada e analisar o sinal dessa derivada.

Primeiro, calculamos a primeira derivada de f(x) :
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 10x^3) = 15x^4 - 30x^2

Em seguida, calculamos a segunda derivada de f(x) :
f''(x) = \frac{d}{dx}(15x^4 - 30x^2) = 60x^3 - 60x

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero e resolvemos para x :
60x^3 - 60x = 0
60x(x^2 - 1) = 0
x(x - 1)(x + 1) = 0

Portanto, os pontos de inflexão são x = 0 , x = 1 e x = -1 .

Agora, analisamos o sinal da segunda derivada em cada intervalo determinado pelos pontos de inflexão:

1. Para x < -1 :
f''(x) = 60x^3 - 60x
Escolha x = -2 :
f''(-2) = 60(-2)^3 - 60(-2) = -480 + 120 = -360
Como f''(-2) < 0 , a função é côncava para baixo nesse intervalo.

2. Para -1 < x < 0 :
Escolha x = -0.5 :
f''(-0.5) = 60(-0.5)^3 - 60(-0.5) = -7.5 + 30 = 22.5
Como f''(-0.5) > 0 , a função é côncava para cima nesse intervalo.

3. Para 0 < x < 1 :
Escolha x = 0.5 :
f''(0.5) = 60(0.5)^3 - 60(0.5) = 7.5 - 30 = -22.5
Como f''(0.5) < 0 , a função é côncava para baixo nesse intervalo.

4. Para x > 1 :
Escolha x = 2 :
f''(2) = 60(2)^3 - 60(2) = 480 - 120 = 360
Como f''(2) > 0 , a função é côncava para cima nesse intervalo.

Portanto, a resposta correta é:
b. Se x < -1 \rightarrow C.V.C.
d. Se -1 < x < 0 \rightarrow C.V.C.
e. Se x > 1 \rightarrow C.V.B.
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