5) lim _(xarrow 0)(sqrt (1+x+x^2)-1)/(sqrt (1+x)-sqrt (1-x))

Para resolver essa expressão, podemos usar a técnica de racionalização do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {\sqrt {1+x+x^{2}}-1}{\sqrt {1+x}-\sqrt {1-x}} \cdot \frac {\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}}{\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {(1+x+x^{2})-1}{(1+x)-(1-x)}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {x+x^{2}}{2x}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {x(1+x)}{2x}$<br /><br />$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {1+x}{2}$<br /><br />Substituindo $x$ por 0, obtemos:<br /><br />$\frac {1+0}{2} = \frac {1}{2}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é $\frac {1}{2}$.