Sabendo que em um poliedro o número de vértices (V) corresponde a (2)/(3) do número de arestas (A) e o número de faces (F) é quatro unidades menos que o de vértices, calcule número de faces de vértices e arestas desse poliedro.

Vamos resolver o problema passo a passo.<br /><br />1. **Relação entre vértices e arestas:**<br /> \[<br /> V = \frac{2}{3}A<br /> \]<br /><br />2. **Relação entre vértices e faces:**<br /> \[<br /> F = V - 4<br /> \]<br /><br />Para encontrar o número de vértices, arestas e faces, precisamos de uma equação que ligue esses três valores. Sabemos que em um poliedro convexo, a soma das arestas é igual ao dobro do número de arestas (teorema de Euler para poliedros convexos):<br /> \[<br /> A = 2F - 2<br /> \]<br /><br />Agora, substituímos as relações dadas no problema na equação de Euler:<br /><br />1. Substituímos \(V\) na relação entre vértices e faces:<br /> \[<br /> F = \frac{2}{3}A - 4<br /> \]<br /><br />2. Substituímos \(F\) na equação de Euler:<br /> \[<br /> A = 2\left(\frac{2}{3}A - 4\right) - 2<br /> \]<br /><br />Resolvendo essa equação:<br /><br />\[<br />A = 2 \left(\frac{2}{3}A - 4\right) - 2<br />\]<br />\[<br />A = \frac{4}{3}A - 8 - 2<br />\]<br />\[<br />A = \frac{4}{3}A - 10<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:<br />\[<br />3A = 4A - 30<br />\]<br /><br />Subtraímos \(4A\) de ambos os lados:<br />\[<br />3A - 4A = -30<br />\]<br />\[<br />-A = -30<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por -1:<br />\[<br />A = 30<br />\]<br /><br />Agora que temos o número de arestas, podemos encontrar o número de vértices e faces:<br /><br />1. **Número de vértices:**<br /> \[<br /> V = \frac{2}{3}A = \frac{2}{3} \times 30 = 20<br /> \]<br /><br />2. **Número de faces:**<br /> \[<br /> F = V - 4 = 20 - 4 = 16<br /> \]<br /><br />Portanto, o poliedro tem:<br />- 20 vértices<br />- 30 arestas<br />- 16 faces