5. (ITA-SP)Escolhem-se aleatoriamente trés numeros distintos no conjunto (1,2,3,ldots ,29.30) Determine a probabilidade de a soma desses trés numeros ser divisivel por 3 6. (Unicamp-SP) Uma loteria sorteia três numeros distintos entre doze números possiveis. a) Para uma aposta em três números, qualé a probabilidade de acerto? b) Se a aposta em trés números custa Rs2.00 quanto deveria custar uma aposta ta em cinco números?

5. Para determinar a probabilidade de a soma de três números escolhidos aleatoriamente no conjunto \((1,2,3,\ldots,29,30)\) ser divisível por 3, precisamos calcular a razão entre o número de combinações que resultam em uma soma divisível por 3 e o número total de combinações possíveis.<br /><br />Primeiro, vamos determinar o número total de combinações possíveis. Como precisamos escolher três números distintos entre 30, o número total de combinações é dado por:<br /><br />\[<br />C(30, 3) = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060<br />\]<br /><br />Agora, precisamos contar quantas dessas combinações resultam em uma soma divisível por 3. Para isso, vamos considerar as possíveis somas que são múltiplos de 3. As somas possíveis variam de 3 a 96. Para serem múltiplos de 3, a soma deve ser um múltiplo de 3.<br /><br />Para simplificar, vamos considerar os restos quando dividimos cada número por 3. Temos 10 números que deixam resto 0 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30) e 20 números que deixam resto 1 ou 2.<br /><br />Para que a soma seja múltiplo de 3, a soma dos restos deve ser múltiplo de 3. Vamos considerar os casos possíveis:<br /><br />1. **Três números deixam resto 0**: <br /> \[<br /> C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120<br /> \]<br /><br />2. **Um número de cada resto (0, 1, 2)**:<br /> \[<br /> C(10, 1) \times C(20, 1) \times C(20, 1) = 10 \times 20 \times 20 = 4000<br /> \]<br /><br />3. **Dois números de cada resto (0, 1, 2)**:<br /> \[<br /> C(10, 2) \times C(20, 1) \times C(20, 1) = 45 \times 20 \times 20 = 18000<br /> \]<br /><br />Somando todos esses casos, temos:<br /><br />\[<br />120 + 4000 + 18000 = 22220<br />\]<br /><br />Portanto, a probabilidade é:<br /><br />\[<br />\frac{22220}{4060} \approx 5.47<br />\]<br /><br />6. a) Para calcular a probabilidade de acerto em uma aposta em três números, precisamos determinar o número de combinações possíveis que resultam em acerto. Como a loteria sorteia três números distintos entre doze possíveis, o número total de combinações possíveis é:<br /><br />\[<br />C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220<br />\]<br /><br />A probabilidade de acerto é, portanto:<br /><br />\[<br />\frac{1}{220}<br />\]<br /><br />b) Para determinar o custo de uma aposta em cinco números, precisamos calcular o custo proporcional ao aumento no número de combinações possíveis. O número total de combinações possíveis para cinco números distintos entre doze é:<br /><br />\[<br />C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 55440<br />\]<br /><br />Como a probabilidade de acerto para três números é \(\frac{1}{220}\) e para cinco números é \(\frac{1}{55440}\), o custo proporcional é:<br /><br />\[<br />\frac{55440}{220} = 252<br />\]<br /><br />Portanto, uma aposta em cinco números deveria custar \(252 \times 2 = 504\) reais.