(1)/(operatorname(cosec) x(1+cos x))+operatorname(cosec) x(1+cos x)

Para simplificar a expressão \( \frac{1}{\operatorname{cosec} x(1+\cos x)}+\operatorname{cosec} x(1+\cos x) \), vamos analisar cada termo separadamente.<br /><br />Primeiro, vamos lembrar que \(\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}\).<br /><br />Agora, vamos simplificar o primeiro termo:<br /><br />\( \frac{1}{\operatorname{cosec} x(1+\cos x)} = \frac{1}{\frac{1}{\sin x}(1+\cos x)} = \sin x(1+\cos x) \)<br /><br />Agora, vamos simplificar o segundo termo:<br /><br />\( \operatorname{cosec} x(1+\cos x) = \frac{1}{\sin x}(1+\cos x) \)<br /><br />Agora, vamos somar os dois termos:<br /><br />\( \sin x(1+\cos x) + \frac{1}{\sin x}(1+\cos x) \)<br /><br />Podemos fatorar \( (1+\cos x) \) dos dois termos:<br /><br />\( (1+\cos x)(\sin x + \frac{1}{\sin x}) \)<br /><br />Podemos simplificar o termo \( \sin x + \frac{1}{\sin x} \) usando a identidade \( \sin x + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + 1}{\sin x} \):<br /><br />\( (1+\cos x)\left(\frac{\sin^2 x + 1}{\sin x}\right) \)<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é:<br /><br />\( (1+\cos x)\left(\frac{\sin^2 x + 1}{\sin x}\right) \)