Resolvao sistema [ 2 x=1(bmod 5) 3 x=2(bmod 7) 5 x=7(bmod 11) ]

Para resolver o sistema de congruências:<br /><br />1. \(2x \equiv 1 \pmod{5}\)<br />2. \(3x \equiv 2 \pmod{7}\)<br />3. \(5x \equiv 7 \pmod{11}\)<br /><br />Primeiro, resolvemos cada congruência individualmente.<br /><br />1. \(2x \equiv 1 \pmod{5}\)<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 3 (o inverso multiplicativo de 2 módulo 5):<br />\[ x \equiv 3 \pmod{5} \]<br /><br />2. \(3x \equiv 2 \pmod{7}\)<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 5 (o inverso multiplicativo de 3 módulo 7):<br />\[ x \equiv 10 \pmod{7} \]<br />\[ x \equiv 3 \pmod{7} \] (pois 10 mod 7 é 3)<br /><br />3. \(5x \equiv 7 \pmod{11}\)<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 9 (o inverso multiplicativo de 5 módulo 11):<br />\[ x \equiv 63 \pmod{11} \]<br />\[ x \equiv 8 \pmod{11} \] (pois 63 mod 11 é 8)<br /><br />Agora temos:<br />\[ x \equiv 3 \pmod{5} \]<br />\[ x \equiv 3 \pmod{7} \]<br />\[ x \equiv 8 \pmod{11} \]<br /><br />Usando o Teorema Chinês dos Restos, combinamos as soluções:<br /><br />Como \( x \equiv 3 \pmod{35} \) (pois 5 e 7 são coprimos), substituímos na terceira congruência:<br />\[ 35k + 3 \equiv 8 \pmod{11} \]<br />\[ 35k \equiv 5 \pmod{11} \]<br />\[ 2k \equiv 5 \pmod{11} \]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 6 (o inverso multiplicativo de 2 módulo 11):<br />\[ k \equiv 30 \pmod{11} \]<br />\[ k \equiv 8 \pmod{11} \]<br /><br />Portanto:<br />\[ x = 35k + 3 \]<br />\[ x = 35(8) + 3 \]<br />\[ x = 280 + 3 \]<br />\[ x = 283 \]<br /><br />Assim, a solução geral é:<br />\[ x \equiv 283 \pmod{385} \]