Questao 10 cálculo de integrais em regiōes do tipo circular pode ser feito por meio das coordenadas polares. Assim far-se necess/rio fazer corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Deseja-se calcular a integral da função f(x,y)=(x^2+y^2) sobre a região D limitada por 0leqslant rleqslant 2,0leqslant Theta leqslant 2pi . Assinale a alternativa que contém o resultado da integral apresentada. A. 10pi B. 6pi 4pi 2pi 8pi

Para calcular a integral da função $f(x, y) = (x^2 + y^2)$ sobre a região $D$ limitada por $0 \leq r \leq 2$ e $0 \leq \Theta \leq 2\pi$ usando coordenadas polares, podemos usar a seguinte fórmula:

$$\iint_D f(x, y) \,dx \,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 f(r \cos \Theta, r \sin \Theta) \cdot r \,dr \,d\Theta$$

Substituindo $f(x, y) = (x^2 + y^2)$ e usando as coordenadas polares $x = r \cos \Theta$ e $y = r \sin \Theta$, temos:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^2 (r \cos \Theta)^2 + (r \sin \Theta)^2 \cdot r \,dr \,d\Theta$$

Simplificando a expressão, obtemos:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \,dr \,d\Theta$$

Agora, podemos calcular a integral:

$$\int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 \,d\Theta = \int_0^{2\pi} \frac{16}{4} \,d\Theta = \int_0^{2\pi} 4 \,d\Theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$$

Portanto, a alternativa correta é a letra E: $8\pi$.