3. Sabendo que um hexágono regular está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 18 cm , determine: a) a medida do lado desse hexágono; b) o semiperímetro desse hexágono; c) a medida do apótema desse hexágono; d) a área desse hexágono.

Para resolver as questões sobre o hexágono regular inscrito em uma circunferência, precisamos usar algumas propriedades geométricas fundamentais.<br /><br />### a) Medida do lado do hexágono<br /><br />Para um hexágono regular inscrito em uma circunferência, a medida do lado \(a\) é dada por:<br /><br />\[ a = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]<br /><br />Onde \(R\) é o raio da circunferência. Substituindo \(R = 18 \, \text{cm}\):<br /><br />\[ a = 2 \times 18 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]<br />\[ a = 36 \times \sin\left(30^\circ\right) \]<br />\[ a = 36 \times \frac{1}{2} \]<br />\[ a = 18 \, \text{cm} \]<br /><br />Portanto, a medida do lado do hexágono é \(18 \, \text{cm}\).<br /><br />### b) Semiperímetro do hexágono<br /><br />O semiperímetro \(s\) de um hexágono é a metade do perímetro. Para um hexágono regular, o perímetro \(P\) é:<br /><br />\[ P = 6 \times a \]<br /><br />Substituindo \(a = 18 \, \text{cm}\):<br /><br />\[ P = 6 \times 18 \]<br />\[ P = 108 \, \text{cm} \]<br /><br />Portanto, o semiperímetro \(s\) é:<br /><br />\[ s = \frac{P}{2} \]<br />\[ s = \frac{108}{2} \]<br />\[ s = 54 \, \text{cm} \]<br /><br />### c) Medida do apótema do hexágono<br /><br />O apótema \(h\) de um hexágono regular é dado por:<br /><br />\[ h = R \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \]<br /><br />Substituindo \(R = 18 \, \text{cm}\):<br /><br />\[ h = 18 \times \cos\left(30^\circ\right) \]<br />\[ h = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]<br />\[ h = 18 \times 0.866 \]<br />\[ h \approx 15.588 \, \text{cm} \]<br /><br />Portanto, a medida do apótema do hexágono é aproximadamente \(15.588 \, \text{cm}\).<br /><br />### d) Área do hexágono<br /><br />A área \(A\) de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula:<br /><br />\[ A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times a^2}{2} \]<br /><br />Substituindo \(a = 18 \, \text{cm}\):<br /><br />\[ A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 18^2}{2} \]<br />\[ A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 324}{2} \]<br />\[ A = \frac{972 \times \sqrt{3}}{2} \]<br />\[ A = 486 \times \sqrt{3} \]<br />\[ A \approx 486 \times 1.732 \]<br />\[ A \approx 842.352 \, \text{cm}^2 \]<br /><br />Portanto, a área do hexágono é aproximadamente \(842.352 \, \text{cm}^2\).