Pergunta
3. Sabendo que um hexágono regular está inscrito em uma circunferência cujo raio mede 18 cm , determine: a) a medida do lado desse hexágono; b) o semiperímetro desse hexágono; c) a medida do apótema desse hexágono; d) a área desse hexágono.
Solução
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RenanProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Para resolver as questões sobre o hexágono regular inscrito em uma circunferência, precisamos usar algumas propriedades geométricas fundamentais.
### a) Medida do lado do hexágono
Para um hexágono regular inscrito em uma circunferência, a medida do lado a é dada por:
a = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
Onde R é o raio da circunferência. Substituindo R = 18 \, \text{cm}:
a = 2 \times 18 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
a = 36 \times \sin\left(30^\circ\right)
a = 36 \times \frac{1}{2}
a = 18 \, \text{cm}
Portanto, a medida do lado do hexágono é 18 \, \text{cm}.
### b) Semiperímetro do hexágono
O semiperímetro s de um hexágono é a metade do perímetro. Para um hexágono regular, o perímetro P é:
P = 6 \times a
Substituindo a = 18 \, \text{cm}:
P = 6 \times 18
P = 108 \, \text{cm}
Portanto, o semiperímetro s é:
s = \frac{P}{2}
s = \frac{108}{2}
s = 54 \, \text{cm}
### c) Medida do apótema do hexágono
O apótema h de um hexágono regular é dado por:
h = R \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
Substituindo R = 18 \, \text{cm}:
h = 18 \times \cos\left(30^\circ\right)
h = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
h = 18 \times 0.866
h \approx 15.588 \, \text{cm}
Portanto, a medida do apótema do hexágono é aproximadamente 15.588 \, \text{cm}.
### d) Área do hexágono
A área A de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula:
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times a^2}{2}
Substituindo a = 18 \, \text{cm}:
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 18^2}{2}
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 324}{2}
A = \frac{972 \times \sqrt{3}}{2}
A = 486 \times \sqrt{3}
A \approx 486 \times 1.732
A \approx 842.352 \, \text{cm}^2
Portanto, a área do hexágono é aproximadamente 842.352 \, \text{cm}^2.
### a) Medida do lado do hexágono
Para um hexágono regular inscrito em uma circunferência, a medida do lado a é dada por:
a = 2 \times R \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
Onde R é o raio da circunferência. Substituindo R = 18 \, \text{cm}:
a = 2 \times 18 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)
a = 36 \times \sin\left(30^\circ\right)
a = 36 \times \frac{1}{2}
a = 18 \, \text{cm}
Portanto, a medida do lado do hexágono é 18 \, \text{cm}.
### b) Semiperímetro do hexágono
O semiperímetro s de um hexágono é a metade do perímetro. Para um hexágono regular, o perímetro P é:
P = 6 \times a
Substituindo a = 18 \, \text{cm}:
P = 6 \times 18
P = 108 \, \text{cm}
Portanto, o semiperímetro s é:
s = \frac{P}{2}
s = \frac{108}{2}
s = 54 \, \text{cm}
### c) Medida do apótema do hexágono
O apótema h de um hexágono regular é dado por:
h = R \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
Substituindo R = 18 \, \text{cm}:
h = 18 \times \cos\left(30^\circ\right)
h = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
h = 18 \times 0.866
h \approx 15.588 \, \text{cm}
Portanto, a medida do apótema do hexágono é aproximadamente 15.588 \, \text{cm}.
### d) Área do hexágono
A área A de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula:
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times a^2}{2}
Substituindo a = 18 \, \text{cm}:
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 18^2}{2}
A = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 324}{2}
A = \frac{972 \times \sqrt{3}}{2}
A = 486 \times \sqrt{3}
A \approx 486 \times 1.732
A \approx 842.352 \, \text{cm}^2
Portanto, a área do hexágono é aproximadamente 842.352 \, \text{cm}^2.
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