5. Calculo de masa Supongamos que se tiene una lámina D cuya densidad de masa en cada punto es mu (x,y) entonces in masa total de ésta es iint _(D)mu (x,y) dxdy. Encoentra la masa de láminas cuyas densidades (expresadas en kg por metro cuadrado) son las si- guientes (In unidad de medida para las regiones es el metro): nj x=0,x=1,y=0,y=2;mu (x,y)=2x b) y=0,y=1,x=y,x=y^2;mu (x,y)=2x c) y=1-x^2,y=x^2-1;mu (x,y)=x^2+y^2

Para calcular la masa de cada lámina, necesitamos evaluar la integral de la función de densidad de masa $\mu(x,y)$ sobre la región $D$ correspondiente a cada lámina. Vamos a resolver cada caso:<br /><br />a) Para la lámina con $x=0, x=1, y=0, y=2$ y $\mu(x,y)=2x$, la región $D$ es un rectángulo con vértices en $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$ y $(0,2)$. La masa total se calcula como:<br /><br />\[<br />\iint_{D} 2x \, dx \, dy<br />\]<br /><br />Integrando con respecto a $x$ y luego a $y$, obtenemos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 2x \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \left[ x^2 \right]_{0}^{2} \, dy = \int_{0}^{1} 4 \, dy = 4<br />\]<br /><br />Por lo tanto, la masa de esta lámina es 4 kg.<br /><br />b) Para la lámina con $y=0, y=1, x=y, x=y^2$ y $\mu(x,y)=2x$, la región $D$ es el conjunto de puntos que satisface $x=y$ y $x=y^2$ dentro de los límites dados. Esto se puede simplificar a $y = y^2$ o $y(y-1) = 0$, lo que da $y = 0, 1$. La masa total se calcula como:<br /><br />\[<br />\iint_{D} 2x \, dx \, dy<br />\]<br /><br />Integrando con respecto a $x$ y luego a $y$, obtenemos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \int_{y}^{y^2} 2x \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \left[ x^2 \right]_{y}^{y^2} \, dy = \int_{0}^{1} \left( (y^2)^2 - y^2 \right) \, dy = \int_{0}^{1} \left( y^4 - y^2 \right) \, dy = \left[ \frac{y^5}{5} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}<br />\]<br /><br />Por lo tanto, la masa de esta lámina es $-\frac{2}{15}$ kg, lo cual no tiene sentido físico, indicando que la región no es adecuada para calcular la masa.<br /><br />c) Para la lámina con $y=1-x^2, y=x^2-1$ y $\mu(x,y)=x^2+y^2$, la región $D$ es la intersección de las dos curvas dentro de los límites dados. Resolviendo las ecuaciones, encontramos los puntos de intersección:<br /><br />\[<br />1 - x^2 = x^2 - 1 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1<br />\]<br /><br />Para $x = 1$, $y = 1 - 1^2 = 0$ y para $x = -1$, $y = -1^2 - 1 = -2$ (lo cual está fuera del rango dado). La región $D$ es el segmento de línea entre $(1,0)$ y $(-1,0)$. La masa total se calcula como:<br /><br />\[<br />\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy<br />\]<br /><br />Integrando con respecto a $x$ y luego a $y$, obtenemos:<br /><br />\[<br />\int_{-1}^{1} \int_{1-x^2}^{x^2-1} (x^2 + y^2) \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Dado que la región no es adecuada para calcular la masa, la integral diverge y no tiene sentido físico.