10%) Um foguete está a uma distância D do planeta Xe d do planeta Y. Sabendo que a razão entre as massas do planeta Xe do planeta Yé 144 determine a razão D/d de modo que as forças de atração entre os planetas e o foguete estejam em equilibrio.

Para determinar a razão \( \frac{D}{d} \) de modo que as forças de atração entre os planetas e o foguete estejam em equilíbrio, podemos usar a lei da gravitação universal de Newton.<br /><br />A lei da gravitação universal de Newton afirma que a força de atração entre dois objetos é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.<br /><br />Vamos considerar as forças de atração entre o foguete e cada planeta. Para que essas forças estejam em equilíbrio, elas devem ser iguais.<br /><br />Seja \( M_X \) a massa do planeta X e \( M_Y \) a massa do planeta Y. Sabemos que a razão entre as massas do planeta X e do planeta Y é 144, ou seja, \( \frac{M_X}{M_Y} = 144 \).<br /><br />Vamos chamar a força de atração entre o foguete e o planeta X de \( F_X \) e a força de atração entre o foguete e o planeta Y de \( F_Y \).<br /><br />Para que as forças estejam em equilíbrio, temos:<br /><br />\( F_X = F_Y \)<br /><br />Usando a fórmula da força de atração gravitacional, temos:<br /><br />\( \frac{G \cdot M_X \cdot m}{D^2} = \frac{G \cdot M_Y \cdot m}{d^2} \)<br /><br />Onde \( G \) é a constante gravitacional e \( m \) é a massa do foguete.<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\( \frac{M_X}{D^2} = \frac{M_Y}{d^2} \)<br /><br />Substituindo a razão entre as massas dos planetas, temos:<br /><br />\( \frac{144 \cdot M_Y}{D^2} = \frac{M_Y}{d^2} \)<br /><br />Cancelando \( M_Y \) dos dois lados da equação, temos:<br /><br />\( \frac{144}{D^2} = \frac{1}{d^2} \)<br /><br />Tomando a raiz quadrada em ambos os lados da equação, temos:<br /><br />\( \frac{12}{D} = \frac{1}{d} \)<br /><br />Inversamente, temos:<br /><br />\( \frac{D}{d} = 12 \)<br /><br />Portanto, a razão \( \frac{D}{d} \) deve ser igual a 12 para que as forças de atração entre os planetas e o foguete estejam em equilíbrio.