(3.) Considere um planeta de massa m, em movimento orbital circular com raio Re período T,em torno do Sol, de massa M. Mostre que para essa situação, a razão (T^2)/(R^3) (terceira lei de Kepler) vale (4pi ^2)/(GM)

Para mostrar que a razão $\frac{T^2}{R^3}$ vale $\frac{4\pi^2}{GM}$, podemos utilizar a terceira lei de Kepler, que afirma que a razão entre o cubo da distância média entre um planeta e o Sol e o quadrado do período orbital desse planeta é uma constante fixa.<br /><br />A terceira lei de Kepler pode ser expressa matematicamente da seguinte forma:<br /><br />$\frac{T^2}{R^3} = k$<br /><br />Onde:<br />- $T$ é o período orbital do planeta<br />- $R$ é a distância média entre o planeta e o Sol<br />- $k$ é uma constante fixa<br /><br />Para mostrar que $\frac{T^2}{R^3}$ vale $\frac{4\pi^2}{GM}$, podemos utilizar a lei da gravitação universal de Newton, que afirma que a força gravitacional entre dois objetos é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles e diretamente proporcional ao produto de suas massas.<br /><br />A lei da gravitação universal de Newton pode ser expressa matematicamente da seguinte forma:<br /><br />$F = \frac{GMm}{R^2}$<br /><br />Onde:<br />- $F$ é a força gravitacional entre os dois objetos<br />- $G$ é a constante gravitacional<br />- $M$ e $m$ são as massas dos dois objetos<br />- $R$ é a distância entre os dois objetos<br /><br />No caso do movimento orbital do planeta ao redor do Sol, a força gravitacional é responsável por manter o planeta em sua órbita. Portanto, podemos igualar a força gravitacional à força centrípeta necessária para manter o planeta em sua órbita circular:<br /><br />$\frac{GMm}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$<br /><br />Onde:<br />- $v$ é a velocidade orbital do planeta<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$GM = Rv^2$<br /><br />A velocidade orbital $v$ pode ser expressa em termos do período orbital $T$ e da distância média $R$ da seguinte forma:<br /><br />$v = \frac{2\pi R}{T}$<br /><br />Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:<br /><br />$GM = R \left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$GM = \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$<br /><br />Finalmente, podemos isolar a razão $\frac{T^2}{R^3}$ e igualá-la a $\frac{4\pi^2}{GM}$:<br /><br />$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$<br /><br />Portanto, a razão $\frac{T^2}{R^3}$ vale $\frac{4\pi^2}{GM}$, o que demonstra a terceira lei de Kepler.