2^nvert (3^2^(n)-1),forall nin Ncup 0

afirmação é verdadeira. Vamos analisar a expressão dada:

$$2^{n}\vert (3^{2^{n}}-1),\forall n\in N\cup \{ 0\}$$

Para qualquer número natural $$n$$ , temos que $$3^{2^{n}}-1$$ é divisível por $$2^{n}$$ . Isso pode ser demonstrado usando indução matemática.

Base da indução: Para $$n=0$$ , temos $$3^{2^{0}}-1 = 3-1 = 2$$ , que é divisível por $$2^{0} = 1$$ .

Passo da indução: Suponha que a afirmação é verdadeira para algum $$n=k$$ , ou seja, $$2^{k}\vert (3^{2^{k}}-1)$$ . Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para $$n=k+1$$ .

Para isso, vamos considerar a expressão $$(3^{2^{k+1}}-1)$$ . Podemos reescrevê-la como $$(3^{2^{k}}\cdot 3^{2}-1)$$ . Usando a propriedade de potência, temos $$3^{2^{k}}\cdot 3^{2} = 3^{2^{k}+2}$$ . Portanto, $$(3^{2^{k+1}}-1) = (3^{2^{k}}\cdot 3^{2}-1) = (3^{2^{k}}-1)\cdot 3^{2} + 3^{2} - 1$$ .

Como $$2^{k}\vert (3^{2^{k}}-1)$$ , temos que $$2^{k}\vert (3^{2^{k}}-1)\cdot 3^{2}$$ . Além disso, $$2^{k}\vert 3^{2} - 1$$ , pois $$3^{2} - 1 = 8 = 2^{3}$$ . Portanto, $$2^{k}\vert (3^{2^{k+1}}-1)$$ .

Portanto, a afirmação é verdadeira para $$n=k+1$$ .

Concluímos que a afirmação é verdadeira para todo $$n\in N\cup \{ 0\}$$ .