6. Seja R uma relação sobre um conjunto E. Mostre que: a) D(R^-1)=Im(R) b) Im(R^-1)=D(R) c) (R^-1)^-1=R

Vamos corrigir e detalhar cada parte da questão:<br /><br />a) \( D(R^{-1}) = Im(R) \)<br /><br />Para mostrar isso, precisamos entender que \( D(R) \) é o domínio de \( R \) e \( Im(R) \) é a imagem de \( R \). A inversa de uma função \( R \), denotada por \( R^{-1} \), é tal que \( R^{-1}(R(x)) = x \) para todo \( x \) no domínio de \( R \). Portanto, se \( y \) está na imagem de \( R \), então existe um \( x \) no domínio de \( R \) tal que \( R(x) = y \). Aplicando \( R^{-1} \) a ambos os lados, temos \( R^{-1}(y) = x \). Isso significa que \( y \) está no domínio de \( R^{-1} \), que é o mesmo que o domínio de \( R \). Portanto, \( D(R^{-1}) = Im(R) \).<br /><br />b) \( Im(R^{-1}) = D(R) \)<br /><br />Para mostrar isso, precisamos entender que \( Im(R^{-1}) \) é a imagem de \( R^{-1} \) e \( D(R) \) é o domínio de \( R \). Se \( x \) está no domínio de \( R \), então \( R(x) \) está na imagem de \( R \). Aplicando \( R^{-1} \) a ambos os lados, temos \( R^{-1}(R(x)) = x \). Isso significa que \( x \) está na imagem de \( R^{-1} \), que é o mesmo que o domínio de \( R \). Portanto, \( Im(R^{-1}) = D(R) \).<br /><br />c) \( (R^{-1})^{-1} = R \)<br /><br />Para mostrar isso, precisamos entender que \( (R^{-1})^{-1} \) é a inversa da inversa de \( R \). Se \( R \) é uma função, então \( R^{-1} \) é sua inversa. Aplicando a função inversa novamente, temos \( (R^{-1})^{-1} \). Por definição de inversa, \( R(R^{-1}(x)) = x \) para todo \( x \) no domínio de \( R \). Portanto, \( (R^{-1})^{-1} = R \).<br /><br />Portanto, as afirmações corretas são:<br /><br />a) \( D(R^{-1}) = Im(R) \)<br /><br />b) \( Im(R^{-1}) = D(R) \)<br /><br />c) \( (R^{-1})^{-1} = R \)