Encontre o valor médio de f(x,y,z)=xyz sobre o cubo no primeirto octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2,y=2 e z=2 A) -1 B) 1 c) -8 D) 8

Para encontrar o valor médio da função \( f(x, y, z) = xyz \) sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenadas e pelos planos \( x = 2 \), \( y = 2 \) e \( z = 2 \), precisamos calcular a integral triplo da função sobre o cubo e dividir pelo volume do cubo.<br /><br />O volume do cubo é dado por \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).<br /><br />A integral triplo da função sobre o cubo é:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} xyz \, dx \, dy \, dz<br />\]<br /><br />Calculando a integral triplo, temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} xyz \, dx \, dy \, dz = \left[ \int_{0}^{2} x \, dx \right] \left[ \int_{0}^{2} y \, dy \right] \left[ \int_{0}^{2} z \, dz \right] = \left[ 2 \right] \left[ 2 \right] \left[ 2 \right] = 8<br />\]<br /><br />Portanto, o valor médio da função é:<br /><br />\[<br />\frac{1}{8} \times 8 = 1<br />\]<br /><br />Assim, a resposta correta é a opção B) 1.