Verifique se y=senxcosx-cosx é uma solução do problema de valor inicial y'+(tgx)y=cos^2x y(0)=-1 no intervalo -pi /2lt xlt pi /2

Para verificar se \( y = \sin x \cos x - \cos x \) é uma solução do problema de valor inicial, precisamos calcular a derivada de \( y \) e substituir na equação diferencial dada.<br /><br />Primeiro, calculemos a derivada de \( y \):<br /><br />\[ y = \sin x \cos x - \cos x \]<br /><br />Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:<br /><br />\[<br />y' = \frac{d}{dx}(\sin x \cos x) - \frac{d}{dx}(\cos x)<br />\]<br /><br />A derivada de \( \sin x \cos x \) é:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx}(\sin x \cos x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x<br />\]<br /><br />E a derivada de \( -\cos x \) é:<br /><br />\[<br />\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x<br />\]<br /><br />Portanto, a derivada de \( y \) é:<br /><br />\[<br />y' = \cos^2 x - \sin^2 x - \sin x<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \( y \) e \( y' \) na equação diferencial:<br /><br />\[ y' + (\tan x)y = \cos^2 x \]<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[<br />(\cos^2 x - \sin^2 x - \sin x) + (\tan x)(\sin x \cos x - \cos x) = \cos^2 x<br />\]<br /><br />Simplificando o termo com \(\tan x\):<br /><br />\[<br />\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}<br />\]<br /><br />Então:<br /><br />\[<br />(\tan x)(\sin x \cos x - \cos x) = \frac{\sin x}{\cos x}(\sin x \cos x - \cos x) = \sin^2 x - \sin x<br />\]<br /><br />Substituindo de volta na equação:<br /><br />\[<br />(\cos^2 x - \sin^2 x - \sin x) + (\sin^2 x - \sin x) = \cos^2 x<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />\cos^2 x - \sin^2 x - \sin x + \sin^2 x - \sin x = \cos^2 x<br />\]<br /><br />\[<br />\cos^2 x - 2\sin x = \cos^2 x<br />\]<br /><br />Isso não é verdade para todos os \( x \), então \( y = \sin x \cos x - \cos x \) não satisfaz a equação diferencial em todo o intervalo dado. Portanto, \( y = \sin x \cos x - \cos x \) não é uma solução do problema de valor inicial.