4) A Física na Fábula. A lebre e a tartaruga iniciam uma corrida de percurso linear de 10 km, no instante t=0s. A lebre corre com velocidade constante de 4m/s e rapidamente deixa a tartaruga para trás, que corre com velocidade constante de 1m/s Depois de 5 min de corrida, a lebre para e cai no sono. A soneca dura 135 min Depois a lebre acorda e sai correndo, com a mesma velocidade de 4m/s. (a) Esboce os gráficos da posição em função do tempo da tartaruga e da lebre, no mesmo sistema de coordenadas. Quem ganha a corrida? (b) Em que instante a tartaruga alcança a lebre? (c) A que distância da tartaruga está a lebre quando a vencedora cruza a linha de chegada? (d) Qual é o tempo máximo que a lebre pode dormir e ainda assim ganhar a corrida?

(a) Para esboçar os gráficos da posição em função do tempo:<br /><br />- **Tartaruga**: A tartaruga corre a uma velocidade constante de 1 m/s. Portanto, sua posição \( x(t) \) é dada por \( x(t) = 1t \). O gráfico será uma linha reta que começa na origem e tem inclinação de 1.<br /><br />- **Lebre**: A lebre corre a uma velocidade constante de 4 m/s até parar para dormir. Nos primeiros 5 minutos (300 segundos), a posição da lebre é \( x(t) = 4t \). Após 300 segundos, a lebre para e dorme por 135 minutos (8100 segundos), durante os quais sua posição não muda. Depois disso, ela retoma a corrida com a mesma velocidade de 4 m/s.<br /><br />Para determinar quem ganha a corrida, calculamos o tempo total que cada um leva para completar os 10 km (10.000 metros):<br /><br />- **Tartaruga**: \( t = \frac{10000}{1} = 10000 \) segundos.<br />- **Lebre**: A lebre corre por 300 segundos, dorme por 8100 segundos e depois precisa correr mais \( \frac{10000 - 1200}{4} = 2200 \) segundos para completar a corrida. O tempo total é \( 300 + 8100 + 2200 = 10600 \) segundos.<br /><br />Portanto, a tartaruga ganha a corrida.<br /><br />(b) A tartaruga alcança a lebre quando ambas têm a mesma posição. Durante os primeiros 300 segundos, a lebre está à frente. Quando a lebre para, sua posição é 1200 metros. A tartaruga alcança essa posição após \( t = \frac{1200}{1} = 1200 \) segundos. Assim, a tartaruga alcança a lebre 900 segundos (15 minutos) após a lebre ter parado.<br /><br />(c) Quando a tartaruga cruza a linha de chegada (10000 metros), a lebre ainda está dormindo. A tartaruga leva 10000 segundos para terminar a corrida. Nesse instante, a lebre ainda está na posição 1200 metros, então a distância entre elas é \( 10000 - 1200 = 8800 \) metros.<br /><br />(d) Para que a lebre ganhe a corrida, ela deve terminar antes da tartaruga. A tartaruga leva 10000 segundos para completar a corrida. A lebre já correu por 300 segundos antes de dormir, então ela tem \( 10000 - 300 = 9700 \) segundos restantes para terminar a corrida. Ela precisa correr \( \frac{10000 - 1200}{4} = 2200 \) segundos após acordar. Portanto, o tempo máximo que a lebre pode dormir é \( 9700 - 2200 = 7500 \) segundos.