6. (a) Mostre que cada membro da familia de funçōes y=(lnx+C)/x é uma solução da equação diferencial x^2y'+xy=1 (b) Ilustre a parte (a) traçando vários membros da família de so- luções na mesma tela. (c) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial y(1)=2 (d) Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a con- dição inicial p(2)=1

(a) Para mostrar que cada membro da família de funções \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \) é uma solução da equação diferencial \( x^2y' + xy = 1 \), precisamos substituir \( y \) na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada de \( y \) em relação a \( x \):<br /><br />\[ y = \frac{\ln(x) + C}{x} \]<br /><br />\[ y' = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - (\ln(x) + C) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x) - C}{x^2} \]<br /><br />Agora, substituímos \( y \) e \( y' \) na equação diferencial:<br /><br />\[ x^2 \left( \frac{1 - \ln(x) - C}{x^2} \right) + x \left( \frac{\ln(x) + C}{x} \right) = 1 \]<br /><br />Simplificando a expressão:<br /><br />\[ (1 - \ln(x) - C) + (\ln(x) + C) = 1 \]<br /><br />\[ 1 - \ln(x) - C + \ln(x) + C = 1 \]<br /><br />\[ 1 = 1 \]<br /><br />Portanto, a igualdade é satisfeita para qualquer valor de \( C \). Assim, cada membro da família de funções \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \) é uma solução da equação diferencial \( x^2y' + xy = 1 \).<br /><br />(b) Para ilustrar a parte (a), podemos traçar vários membros da família de soluções na mesma tela. Vamos considerar alguns valores de \( C \) e plotar as funções correspondentes.<br /><br />(c) Para encontrar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial \( y(1) = 2 \), substituímos \( x = 1 \) e \( y = 2 \) na solução geral \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \):<br /><br />\[ 2 = \frac{\ln(1) + C}{1} \]<br /><br />Sabendo que \( \ln(1) = 0 \), temos:<br /><br />\[ 2 = C \]<br /><br />Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é \( y = \frac{\ln(x) + 2}{x} \).<br /><br />(d) Para encontrar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial \( y(2) = 1 \), substituímos \( x = 2 \) e \( y = 1 \) na solução geral \( y = \frac{\ln(x) + C}{x} \):<br /><br />\[ 1 = \frac{\ln(2) + C}{2} \]<br /><br />Isolando \( C \), temos:<br /><br />\[ 2 = \ln(2) + C \]<br /><br />\[ C = 2 - \ln(2) \]<br /><br />Portanto, a solução que satisfaz a condição inicial é \( y = \frac{\ln(x) + 2 - \ln(2)}{x} \).