Caio e Marcos precisav am encontrar uma fórmula explícita para a pro gressão 4,12,36,108,ldots na qual o primeiro termo deve ser g(1) Caio disse que a fórmula é g(n)=4cdot 3^n e Marcos disse que a fórmula é g(n)=4cdot 4^n-1 Quem está certo?

Vamos verificar as fórmulas propostas por Caio e Marcos para determinar qual delas está correta.<br /><br />### Fórmula de Caio: \( g(n) = 4 \cdot 3^n \)<br /><br />Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br />- Para \( n = 1 \):<br /> \[<br /> g(1) = 4 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12<br /> \]<br />- Para \( n = 2 \):<br /> \[<br /> g(2) = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36<br /> \]<br />- Para \( n = 3 \):<br /> \[<br /> g(3) = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108<br /> \]<br /><br />Os termos calculados (12, 36, 108) correspondem exatamente à progressão dada (4, 12, 36, 108).<br /><br />### Fórmula de Marcos: \( g(n) = 4 \cdot 4^{n-1} \)<br /><br />Vamos calcular os primeiros termos usando essa fórmula:<br />- Para \( n = 1 \):<br /> \[<br /> g(1) = 4 \cdot 4^{1-1} = 4 \cdot 4^0 = 4 \cdot 1 = 4<br /> \]<br />- Para \( n = 2 \):<br /> \[<br /> g(2) = 4 \cdot 4^{2-1} = 4 \cdot 4^1 = 4 \cdot 4 = 16<br /> \]<br />- Para \( n = 3 \):<br /> \[<br /> g(3) = 4 \cdot 4^{3-1} = 4 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64<br /> \]<br /><br />Os termos calculados (4, 16, 64) não correspondem à progressão dada (4, 12, 36, 108).<br /><br />Portanto, a fórmula correta é a proposta por Caio: \( g(n) = 4 \cdot 3^n \).