3) Calcule os limites abaixo unando a regna de L'Hospital. a) lim _(x arrow 2) (x^2-4 x+4)/(x^2)-x-2 b) lim _(x arrow 0) (x^2+6 x)/(x^3)+7 x^(2+5 x) c) lim _(x arrow-1) (x^2-1)/(x^2)+4 x+3 d) lim _(x arrow+infty) (2 x+3)/(5 x+4) e) lim _(x arrow+infty) (e^x)/(x)

a) Para calcular o limite $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-x-2}$, podemos usar a regra de L'Hospital. Primeiro, vamos verificar se o limite é indeterminado. Substituindo $x = 2$ no numerador e no denominador, obtemos $\frac{0}{0}$, que é uma forma indeterminada. Agora, podemos aplicar a regra de L'Hospital, que nos diz que podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente. A derivada do numerador é $2x - 4$ e a derivada do denominador é $2x - 1$. Portanto, o limite se torna $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x - 4}{2x - 1}$. Substituindo $x = 2$ novamente, obtemos $\frac{0}{3} = 0$. Portanto, o limite é igual a 0.

b) Para calcular o limite $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+6 x}{x^{3}+7 x^{2}+5 x}$, podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. O numerador pode ser fatorado como $x(x + 6)$ e o denominador pode ser fatorado como $x(x^2 + 7x + 5)$. Agora, podemos cancelar o fator $x$ no numerador e no denominador, resultando em $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x + 6}{x^2 + 7x + 5}$. Quando $x$ tende a 0, o numerador tende a 6 e o denominador tende a 5. Portanto, o limite é igual a $\frac{6}{5}$.

c) Para calcular o limite $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+4 x+3}$, podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. O numerador pode ser fatorado como $(x - 1)(x + 1)$ e o denominador pode ser fatorado como $(x + 1)(x + 3)$. Agora, podemos cancelar o fator $x + 1$ no numerador e no denominador, resultando em $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x - 1}{x + 3}$. Quando $x$ tende a -1, o numerador tende a -2 e o denominador tende a 2. Portanto, o limite é igual a $\frac{-2}{2} = -1$.

d) Para calcular o limite $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+3}{5 x+4}$, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por $x$. Isso nos dá $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x}}$. Quando $x$ tende a $+\infty$, $\frac{3}{x}$ tende a 0 e $\frac{4}{x}$ tende a 0. Portanto, o limite é igual a $\frac{2}{5}$.

e) Para calcular o limite $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x}$, podemos usar a regra de L'Hospital. Primeiro, vamos verificar se o limite é indeterminado. Substituindo $x = +\infty$ no numerador e no denominador, obtemos $\frac{+\infty}{+\infty}$, que é uma forma indeterminada. Agora, podemos aplicar a regra de L'Hospital, que nos diz que podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente. A derivada do numerador é $e^x$ e a derivada do denominador é 1. Portanto, o limite se torna $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x}{1}$. Quando $x$ tende a $+\infty$, $e^x$ tende a $+\infty$. Portanto, o limite é igual