[CM-R]) O ciclista Tiago , andando em linha reta. passou sucessivam ente pelos pontos M,N e 0. Quando ele estava em M , avistou outro ciclista parado no ponto P, de modo que o ângulo Phat (MN) media 45^circ Após pedalar 100 m até o ponto N. avistou o mesmo ciclista em P, de modo que o ângulo Phat (NO) media 75^circ Com base nessas infor- mações, é carreto afirmar que a distância , em linha reta, que Tiago precisaria percorrer para ir do ponto Nao ponto Péiguala: a) (100sqrt (6))/(3) m. b) 100 m. c) 100sqrt (2)m d) 100sqrt (3)m e) 200 m.

Para resolver esse problema, podemos usar a trigonometria. Vamos analisar os ângulos dados e as distâncias percorridas por Tiago.<br /><br />Sabemos que o ângulo \(P\hat{MN}\) mede \(45^{\circ}\) e o ângulo \(P\hat{NO}\) mede \(75^{\circ}\). Também sabemos que Tiago percorreu 100 m até chegar ao ponto N.<br /><br />Podemos usar a lei dos cossenos para encontrar a distância entre os pontos N e P. A lei dos cossenos é dada por:<br /><br />\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]<br /><br />Onde \(a\) e \(b\) são os catetos e \(c\) é o hipotenusa.<br /><br />Nesse caso, \(a = 100\) m (distância percorrida por Tiago até o ponto N), \(b\) é a distância entre os pontos N e P, e \(\gamma = 45^{\circ}\).<br /><br />Aplicando a lei dos cossenos, temos:<br /><br />\[c^2 = 100^2 + b^2 - 2 \cdot 100 \cdot b \cdot \cos(45^{\circ})\]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[c^2 = 10000 + b^2 - 100\sqrt{2}b\]<br /><br />Agora, vamos usar o ângulo \(P\hat{NO}\) para encontrar a distância entre os pontos N e P. Novamente, podemos usar a lei dos cossenos:<br /><br />\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]<br /><br />Nesse caso, \(a = 100\) m, \(b\) é a distância entre os pontos N e P, e \(\gamma = 75^{\circ}\).<br /><br />Aplicando a lei dos cossenos, temos:<br /><br />\[c^2 = 100^2 + b^2 - 2 \cdot 100 \cdot b \cdot \cos(75^{\circ})\]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[c^2 = 10000 + b^2 + 100\sqrt{3}b\]<br /><br />Agora, podemos igualar as duas expressões para \(c^2\) e resolver a equação:<br /><br />\[10000 + b^2 - 100\sqrt{2}b = 10000 + b^2 + 100\sqrt{3}b\]<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\[-100\sqrt{2}b = 100\sqrt{3}b\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(b\), temos:<br /><br />\[-100\sqrt{2} = 100\sqrt{3}\]<br /><br />Cancelando os termos comuns, temos:<br /><br />\[\sqrt{2} = -\sqrt{3}\]<br /><br />Isso não é possível, pois \(\sqrt{2}\) é positivo e \(\sqrt{3}\) também é positivo. Portanto, não é possível resolver a equação e encontrar a distância entre os pontos N e P.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a letra d) \(100\sqrt{3}\) m.