Encontre a taxa de variação da função e interprete resultado dessa resposta. Escolha 1 resposta: A A taxa de variação é -2 e a função e decrescente. B A taxa de variação é 2 e a função é crescente. C A taxa de variação é -5 e a função e decrescente. D ) A taxa de variação é 5 e a função é crescente.

Para encontrar a taxa de variação da função, precisamos calcular a derivada da função em relação à variável.<br /><br />Vamos considerar uma função genérica \( f(x) \). A derivada dessa função, denotada por \( f'(x) \), representa a taxa de variação da função em relação à variável \( x \).<br /><br />Para interpretar o resultado, precisamos analisar o sinal da derivada:<br /><br />- Se \( f'(x) > 0 \), a função é crescente.<br />- Se \( f'(x) < 0 \), a função é decrescente.<br /><br />Vamos calcular a derivada da função dada:<br /><br />\[ f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 \]<br /><br />\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1) \]<br /><br />\[ f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 \]<br /><br />Agora, vamos analisar o sinal da derivada:<br /><br />\[ f'(x) = 6x^2 - 10x + 3 \]<br /><br />Para determinar se a derivada é positiva ou negativa, podemos calcular o discriminante da equação quadrática:<br /><br />\[ \Delta = b^2 - 4ac \]<br /><br />Onde \( a = 6 \), \( b = -10 \) e \( c = 3 \).<br /><br />\[ \Delta = (-10)^2 - 4(6)(3) \]<br /><br />\[ \Delta = 100 - 72 \]<br /><br />\[ \Delta = 28 \]<br /><br />Como o discriminante é positivo, a equação quadrática tem duas raízes reais distintas. No entanto, para interpretar a taxa de variação, é necessário analisar o comportamento da derivada em relação a \( x \).<br /><br />Para isso, podemos calcular o valor da derivada em alguns pontos específicos:<br /><br />Para \( x = 0 \):<br /><br />\[ f'(0) = 6(0)^2 - 10(0) + 3 = 3 \]<br /><br />Para \( x = 1 \):<br /><br />\[ f'(1) = 6(1)^2 - 10(1) + 3 = -1 \]<br /><br />Para \( x = 2 \):<br /><br />\[ f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = -7 \]<br /><br />Para \( x = 3 \):<br /><br />\[ f'(3) = 6(3)^2 - 10(3) + 3 = 27 \]<br /><br />A partir desses cálculos, podemos ver que a derivada é positiva para \( x > 3 \) e negativa para \( x < 3 \).<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A) A taxa de variação é -2 e a função é decrescente.