2. [ iint_(R) (1)/(1+x+y) d A, R=[1,3] times[1,2] ]

Para resolver a integral dupla \(\iint_{R} \frac{1}{4+x+y} dA\), onde \(R=[1,3] \times [1,2]\), podemos usar a propriedade de linha para integrar em relação a \(x\) e \(y\).<br /><br />Primeiro, vamos integrar em relação a \(x\):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} \frac{1}{4+x+y} \,dx<br />\]<br /><br />Para isso, vamos fazer uma substituição. Seja \(u = 4 + x + y\), então \(du = dx\). Quando \(x = 1\), \(u = 4 + 1 + y = 5 + y\). Quando \(x = 3\), \(u = 4 + 3 + y = 7 + y\). Portanto, os novos limites de integração são de \(5+y\) a \(7+y\).<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} \frac{1}{u} \,du = \ln|u|\bigg|_{5+y}^{7+y}<br />\]<br /><br />Aplicando os limites de integração, temos:<br /><br />\[<br />\ln|7+y| - \ln|5+y| = \ln\left(\frac{7+y}{5+y}\right)<br />\]<br /><br />Agora, vamos integrar em relação a \(y\):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \ln\left(\frac{7+y}{5+y}\right) \,dy<br />\]<br /><br />Podemos usar a propriedade de linha para integrar essa integral. Seja \(u = \frac{7+y}{5+y}\), então \(du = \frac{2}{(5+y)^2} \,dy\). Quando \(y = 1\), \(u = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\). Quando \(y = 2\), \(u = \frac{9}{7}\). Portanto, os novos limites de integração são de \(\frac{4}{3}\) a \(\frac{9}{7}\).<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \ln(u) \,du = u \ln(u)\bigg|_{\frac{4}{3}}^{\frac{9}{7}} - \int_{\frac{4}{3}}^{\frac{9}{7}} u \,du<br />\]<br /><br />Aplicando os limites de integração, temos:<br /><br />\[<br />\left(\frac{9}{7} \ln\left(\frac{9}{7}\right) - \frac{4}{3} \ln\left(\frac{4}{3}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} \left(\frac{9}{7}\right)^2 - \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3}\right)^2\right)<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\left(\frac{9}{7} \ln\left(\frac{9}{7}\right) - \frac{4}{3} \ln\left(\frac{4}{3}\right)\right) - \left(\frac{81}{98} - \frac{16}{9}\right)<br />\]<br /><br />Portanto, a integral dupla é igual a:<br /><br />\[<br />\boxed{\left(\frac{9}{7} \ln\left(\frac{9}{7}\right) - \frac{4}{3} \ln\left(\frac{4}{3}\right)\right) - \left(\frac{81}{98} - \frac{16}{9}\right)}<br />\]