35.A temperatu ra é T(x,y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano xy e T(x,y)=3x^2+ +2xy . A distância é medida em metros . (a) Ache a taxa de variação máxima da temperatu a no ponto (3,-6) da pla- ca. (b)Ache a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em (3,-6)

Para resolver essa questão, precisamos calcular a taxa de variação máxima da temperatura no ponto \((3, -6)\) da placa retangular. Vamos seguir os passos necessários para resolver essa questão.<br /><br />### Parte (a): Calcular a taxa de variação máxima<br /><br />A função que descreve a temperatura é \( T(x, y) = 3x^2 + 2xy \).<br /><br />Para encontrar a taxa de variação máxima, precisamos calcular o gradiente da função \( T \) no ponto \((3, -6)\).<br /><br />O gradiente de uma função \( f(x, y) \) é dado por:<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]<br /><br />Calculamos as derivadas parciais:<br /><br />1. Derivada parcial em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 2xy) = 6x + 2y \]<br /><br />2. Derivada parcial em relação a \( y \):<br /><br />\[ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 2xy) = 2x \]<br /><br />Agora, substituímos \( x = 3 \) e \( y = -6 \) nas derivadas parciais:<br /><br />\[ \frac{\partial T}{\partial x} \bigg|_{(3, -6)} = 6(3) + 2(-6) = 18 - 12 = 6 \]<br /><br />\[ \frac{\partial T}{\partial y} \bigg|_{(3, -6)} = 2(3) = 6 \]<br /><br />Portanto, o gradiente no ponto \((3, -6)\) é:<br /><br />\[ \nabla T(3, -6) = (6, 6) \]<br /><br />A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente:<br /><br />\[ \|\nabla T(3, -6)\| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]<br /><br />### Parte (b): Determinar a direção e sentido<br /><br />A direção em que a taxa de variação é máxima é dada pelos coeficientes do gradiente, que são \( 6 \) e \( 6 \). Isso significa que a direção é a linha que passa por \((3, -6)\) e tem coeficientes direcionais \( 6 \) e \( 6 \).<br /><br />Para determinar o sentido, observamos que o gradiente aponta para o aumento da função. Como ambos os coeficientes são positivos, a direção é para o leste e para o norte.<br /><br />Portanto, a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em \((3, -6)\) são:<br /><br />- Direção: para o leste e para o norte<br />- Sentido: de \((3, -6)\) para \((3, -6 + 6) = (3, 0)\)<br /><br />Resumindo:<br /><br />(a) A taxa de variação máxima da temperatura no ponto \((3, -6)\) é \( 6\sqrt{2} \) graus por metro.<br /><br />(b) A direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em \((3, -6)\) são para o leste e para o norte.