7 - Sabendo-se que (C_(8,p+2))/(C_(8,p+1))=2 determine o valor de p.

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do coeficiente binomial, que é dada por:<br /><br />\[ C_{n, k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]<br /><br />Onde \( n \) é o número total de elementos e \( k \) é o número de elementos que estamos escolhendo.<br /><br />Dado que \(\frac{C_{8, p+2}}{C_{8, p+1}} = 2\), podemos substituir as fórmulas dos coeficientes binomiais:<br /><br />\[ \frac{\frac{8!}{(p+2)!(8-(p+2))!}}{\frac{8!}{(p+1)!(8-(p+1))!}} = 2 \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \frac{(p+1)!(8-(p+1))!}{(p+2)!(8-(p+2))!} = 2 \]<br /><br />Podemos cancelar os fatoriais comuns:<br /><br />\[ \frac{(p+1)(8-p-1)}{(p+2)(7-p-2)} = 2 \]<br /><br />Simplificando ainda mais:<br /><br />\[ \frac{(p+1)(7-p)}{(p+2)(7-p)} = 2 \]<br /><br />Podemos cancelar o fator \( (7-p) \):<br /><br />\[ \frac{(p+1)}{(p+2)} = 2 \]<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação:<br /><br />\[ p+1 = 2(p+2) \]<br /><br />\[ p+1 = 2p+4 \]<br /><br />\[ 1 - 4 = 2p - p \]<br /><br />\[ -3 = p \]<br /><br />Portanto, o valor de \( p \) é \(-3\).