10. Calcule o valor das integrais impróprias e determine se convergem. int _(0)^infty e^-xdx int _(-infty )^-1(1)/(x^2/3)dx

Vamos calcular as integrais impróprias fornecidas e determinar se elas convergem.<br /><br />1. $\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx$<br /><br />Para calcular essa integral, podemos usar o método de integração por partes. Vamos considerar $u = e^{-x}$ e $dv = dx$. Então, $du = -e^{-x}dx$ e $v = x$. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />$\int e^{-x}dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}dx$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral imprópria considerando os limites de integração de 0 a $\infty$:<br /><br />$\lim_{b \to \infty} \left[-xe^{-x}\right]_0^b + \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x}dx$<br /><br />Ao avaliar os limites, temos:<br /><br />$\lim_{b \to \infty} \left[-be^{-b} + 0\right] + \lim_{b \to \infty} \left[-e^{-b} + e^0\right]$<br /><br />Ambos os limites são iguais a 0, pois os termos decrescentes dominam. Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é 1.<br /><br />2. $\int _{-\infty }^{-1}\frac {1}{x^{2/3}}dx$<br /><br />Para calcular essa integral, podemos usar a substituição de variáveis. Vamos considerar $u = x^{1/3}$. Então, $du = \frac{1}{3}x^{-2/3}dx$ e $dx = 3u^2du$. Substituindo na integral, temos:<br /><br />$\int \frac{1}{x^{2/3}}dx = \int \frac{3u^2}{u^2}du = 3\int du = 3u + C$<br /><br />Agora, podemos resolver a integral imprópria considerando os limites de integração de $-\infty$ a $-1$:<br /><br />$\lim_{a \to -\infty} \left[3u\right]_a^{-1}$<br /><br />Ao avaliar o limite, temos:<br /><br />$\lim_{a \to -\infty} \left[3(-1) - 3a\right] = -3$<br /><br />Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é -3.