3) Demonstrar por indução que: a) 1.2+2.3+3.4+ldots +n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3),forall nin N b) 24vert (5^2n-1),forall nin N

a) Para demonstrar a fórmula dada por indução, vamos seguir os passos da prova por indução matemática.

Passo 1: Base da indução
Para n = 1, temos:
1.2 = 2
E a fórmula dada é:
$$\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$$
Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.

Passo 2: Passo da indução
Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, suponha que:
$$1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$

Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k+1, ou seja, queremos mostrar que:
$$1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:
$$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

Multiplicando ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador, obtemos:
$$k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)$$

Fatorando o lado esquerdo da equação, temos:
$$(k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(k+3)$$

Portanto, a fórmula é verdadeira para k+1, se for verdadeira para k.

Passo 3: Conclusão
Como a fórmula é verdadeira para n = 1 (base da indução) e é verdadeira para k+1 se for verdadeira para k (passo da indução), concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.

Portanto, a fórmula $$1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ é verdadeira para todos os números naturais n.

b) Para demonstrar a afirmação dada por indução, vamos seguir os passos da prova por indução matemática.

Passo 1: Base da indução
Para n = 1, temos:
$$5^{2 \cdot 1} - 1 = 5^2 - 1 = 24$$
E 24 é divisível por 24.

Portanto, a afirmação é verdadeira para n = 1.

Passo 2: Passo da indução
Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum inteiro k, ou seja, suponha que:
$$24 \vert (5^{2k} - 1)$$

Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para k+1, ou seja, queremos mostrar que:
$$24 \vert (5^{2(k+1)} - 1)$$

Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:
$$24 \vert (5^{2k} - 1) \Rightarrow 24 \vert (5^{2k} - 1 + 1) \Rightarrow 24 \vert 5^{2k}$$

Agora, vamos analisar o termo $$5^{2(k+1)} - 1$$ :
$$5^{2(k+1)} - 1 = 5^{2k+2} - 1 = (5^2)^{k+1} - 1 = 25^{k+1} - 1$$

Podemos escrever 25 como $$5^2$$ , então:
$$25^{k+1} - 1 = (5^2)^{k+1} - 1 = 5^{2(k+1)} - 1$$

Agora, podemos usar a suposição de indução:
$$24 \vert 5^{2k} \Rightarrow 24 \vert 5^{2k} - 1$$

Portanto, a afirmação é verdade