Questǎo 08 Dada a seguinte função: f(x,y)=-x^2cdot seny-xcdot y^3 Encontre suas Derivadas Parciais: fxe fy.e assinale a alternative correta.

Para encontrar as derivadas parciais de $f(x, y) = -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3$, vamos calcular $f_x$ e $f_y$.

### Derivada Parcial em relação a $x$ ($f_x$):

$$f(x, y) = -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3$$

Derivando em relação a $x$:

$$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3 \right)$$

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

$$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( -x^2 \cdot \sin(y) \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left( -x \cdot y^3 \right)$$

$$f_x = -2x \cdot \sin(y) - y^3$$

### Derivada Parcial em relação a $y$ ($f_y$):

$$f(x, y) = -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3$$

Derivando em relação a $y$:

$$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3 \right)$$

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

$$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( -x^2 \cdot \sin(y) \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( -x \cdot y^3 \right)$$

$$f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - 3xy^2$$

Portanto, as derivadas parciais são:

$$f_x = -2x \cdot \sin(y) - y^3$$
$$f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - 3xy^2$$

A alternativa correta é:

$$f_x = -2x \cdot \sin(y) - y^3$$
$$f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - 3xy^2$$