Questão Use o método đe Gause-Jacobi, com iterados, para encontrar uma solução aproximada do sistema lincar abaito ) 0.5x-0.1y+0.2z=1 0.1x+y-0.4z=-2 0.2x+0.3y=0 E possivel garantir que a sequencie genade per cose mittado converge para a solução do sistema linear?Justifique

Para resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Jacobi, primeiro precisamos escrever o sistema em forma escalonada. Vamos fazer isso:<br /><br />1. Escreva o sistema linear em forma de matriz aumentada:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />0.5 & -0.1 & 2 & | & 1 \\<br />0.1 & 1 & -0.4 & | & -2 \\<br />0.2 & 0.3 & 0 & | & 0<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />2. Vamos realizar operações para transformar a matriz em forma escalonada. Começamos com a primeira linha:<br /><br />- Multiplicamos a primeira linha por 2 para eliminar o coeficiente 0.5 na primeira coluna da segunda linha:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & -0.2 & 0.4 & | & 2 \\<br />0.1 & 1 & -0. | & -2 \\<br />0.2 & 0.3 & 0 & | & 0<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />3. Subtraímos 0.1 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o coeficiente 0.1 na segunda coluna da segunda linha:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & -0.2 & 0.4 & | & 2 \\<br />0 & 1.1 & -0.46 & | & -3.2 \\<br />0.2 & 0.3 & 0 & | & 0<br />\end{pmatrix]<br /><br />4. Subtraímos 0.2 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o coeficiente 0.2 na primeira coluna da terceira linha:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & -0.2 & 0.4 & | & 2 \\<br />0 & 1.1 & -0.46 & | & -3.2 \\<br />0 & 0.3 & -0.08 & | & -0.4<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />5. Agora, vamos eliminar o coeficiente 0.3 na segunda coluna da ter Multiplicamos a segunda linha por 10 para simplificar:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & -0.2 & 0.4 & | & 2 \\<br />0 & 11 & -4.6 & | & -32 \\<br />0 & 0.3 & -0.08 & | & -0.4<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />6. Subtraímos 0.3 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o coeficiente 0.3 na segunda coluna da terceira linha:<br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & -0.2 & 0.4 & 2 \\<br />0 & 11 & -4.6 & | & -32 \\<br />0 & 0 & -0.14 & | & 0.6<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Agora, podemos resolver a terceira linha para \( z \):<br />\[<br />-0.14z = 0.6 \implies z = \frac{0.6}{-0.14} \implies z = -4.29<br />\]<br /><br />Substituindo \( z \) na segunda linha para resolver \( y \):<br />\[<br />11y - 4.6(-4.29) = -32 \implies + 19.724 = -32 \implies 11y = -51.724 \implies y = \frac{-51.724}{11} \implies y = -4.68<br />\]<br /><br />Finalmente, substituindo \( y \) e \( z \) na primeira linha para resolver \( x \):<br />\[<br />x - 0.2(-4.68) + 0.4(-4.29) = 2 \implies x + 0.936 - 1.716 = 2 \implies x - 0.78 = 2 \implies x = 2.78<br />\]<br /><br />Portanto, a solução aproximada do sistema:<br />\[<br />x = 2.78, \quad y = -4.68, \quad z = -4.29<br />\]<br /><br />Para garantir que a sequência gerada pela metodologia converge para a solução do sistema linear, precisamos verificar se a matriz de coeficientes é diagonais dominantes. Se todos os elementos fora da diagonal forem menores que 1, a matriz é diagonais dominantes, e a sequência converge para a solução.<br /><br />No caso da matriz escalonada, todos os elementos fora da diagonal são menores que 1, o que indica