Pergunta
Isolando a raiz positiva da função f(x)=3x^4-x-3 em um intervalo [a,b](acirc bnaturais) de comprimento 1, isto 6. b-a=1 e utilizantio o método da Iteração Linear, calcule a terceira f(x_(2)) aproximação para esta raiz Calcule x_(0)=0,7b e escolha uma função do iteração F(x) apropriada. Assinale a allernativa correta
Solução
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ArianeMestre · Tutor por 5 anos
Responder
Para resolver o problema de forma correta, precisamos seguir os passos detalhados. Vamos revisar e calcular a terceira aproximação usando o método da Iteração Linear.<br /><br />### Passo 1: Definir a função de iteração<br />Dada a função \( f(x) = 3x^4 - x - 3 \), a função de iteração \( F(x) \) pode ser escolhida como a média aritmética da função e da raiz positiva isolada. Vamos assumir que a raiz positiva isolada é \( x_1 \).<br /><br />### Passo 2: Calcular \( x_1 \)<br />Para calcular \( x_1 \), precisamos encontrar a raiz positiva de \( f(x) \). Vamos usar o método da Iteração Linear para isso.<br /><br />### Passo 3: Calcular \( x_0 \)<br />Dado que \( x_0 = 0,7b \) e \( b - a = 1 \), assumimos que \( b = 1 \) e \( a = 0 \). Portanto, \( x_0 = 0,7 \).<br /><br />### Passo 4: Iteração Linear<br />Usando o método da Iteração Linear, a fórmula para a próxima iteração \( x_{n+1} \) é:<br />\[ x_{n+1} = \frac{f(x_n) + x_n}{2} \]<br /><br />### Passo 5: Calcular \( x_1 \)<br />Substituindo \( x_0 = 0,7 \) na fórmula:<br />\[ x_1 = \frac{f(0,7) + 0,7}{2} \]<br /><br />Calculando \( f(0,7) \):<br />\[ f(0,7) = 3(0,7)^4 - 0,7 - 3 \]<br />\[ f(0,7) = 3(0,2401) - 0,7 - 3 \]<br />\[ f(0,7) = 0,7203 - 0,7 - 3 \]<br />\[ f(0,7) = -2,9797 \]<br /><br />Agora, calculamos \( x_1 \):<br />\[ x_1 = \frac{-2,9797 + 0,7}{2} \]<br />\[ x_1 = \frac{-2,2797}{2} \]<br />\[ x_1 = -1,13985 \]<br /><br />### Passo 6: Calcular \( x_2 \)<br />Usando \( x_1 \) para calcular \( x_2 \):<br />\[ x_2 = \frac{f(x_1) + x_1}{2} \]<br /><br />Calculando \( f(-1,13985) \):<br />\[ f(-1,13985) = 3(-1,13985)^4 - (-1,13985) - 3 \]<br />\[ f(-1,13985) = 3(1,834) + 1,13985 - 3 \]<br />\[ f(-1,13985) = 5,502 - 1,13985 - 3 \]<br />\[ f(-1,13985) = 1,36215 \]<br /><br />Agora, calculamos \( x_2 \):<br />\[ x_2 = \frac{1,36215 + (-1,13985)}{2} \]<br />\[ x_2 = \frac{0,2223}{2} \]<br />\[ x_2 = 0,11115 \]<br /><br />### Passo 7: Calcular \( x_3 \)<br />Usando \( x_2 \) para calcular \( x_3 \):<br />\[ x_3 = \frac{f(x_2) + x_2}{2} \]<br /><br />Calculando \( f(0,11115) \):<br />\[ f(0,11115) = 3(0,11115)^4 - 0,11115 - 3 \]<br />\[ f(0,11115) = 3(0,0013) - 0,11115 - 3 \]<br />\[ f(0,11115) = 0,0039 - 0,11115 - 3 \]<br />\[ f(0,11115) = -3,10725 \]<br /><br />Agora, calculamos \( x_3 \):<br />\[ x_3 = \frac{-3,10725 + 0,11115}{2} \]<br />\[ x_3 = \frac{-3,0061}{2} \]<br />\[ x_3 = -1,50305 \]<br /><br />Portanto, a terceira aproximação para a raiz positiva da função \( f(x) = 3x^4 - x - 3 \) usando o
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