(i) Enoo nueo determinante da mail B=[} 4&5&-3&0 2&-1&3&1 1&-3&2&1 0&2&-2&5 ]

Para calcular o determinante da matriz \( B \), podemos usar o método de Laplace. Vamos calcular o determinante passo a passo.<br /><br />Dada a matriz \( B \):<br /><br />\[ B = \begin{bmatrix} 4 & 5 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 5 \end{bmatrix} \]<br /><br />O determinante de uma matriz \( 4 \times 4 \) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou desenvolvendo-a pela primeira linha. Vou desenvolver pela primeira linha:<br /><br />\[ \text{det}(B) = 4 \cdot \text{det}\begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} - 5 \cdot \text{det}\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \text{det}\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} + 0 \cdot \text{det}\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]<br /><br />Como o último termo é multiplicado por zero, podemos ignorá-lo. Então, temos:<br /><br />\[ \text{det}(B) = 4 \cdot \text{det}\begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} - 5 \cdot \text{det}\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \text{det}\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} \]<br /><br />Vamos calcular o determinante de cada menor \( 3 \times 3 \) matriz.<br /><br />Para a primeira matriz menor:<br /><br />\[ \begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]<br /><br />\[ = -1 \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot (-2)) - 3 \cdot (-3 \cdot 5 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (-3 \cdot (-2) - 2 \cdot 2) \]<br /><br />\[ = -1 \cdot (10 + 2) - 3 \cdot (-15 - 2) + 1 \cdot (6 - 4) \]<br /><br />\[ = -1 \cdot 12 - 3 \cdot (-17) + 1 \cdot 2 \]<br /><br />\[ = -12 + 51 + 2 \]<br /><br />\[ = 41 \]<br /><br />Para a segunda matriz menor:<br /><br />\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]<br /><br />\[ = 2 \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot (-2)) - 3 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0) \]<br /><br />\[ = 2 \cdot (10 + 2) - 3 \cdot (5 - 0) + 1 \cdot (-2 - 0) \]<br /><br />\[ = 2 \cdot 12 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot (-2) \]<br /><br />\[ = 24 - 15 - 2 \]<br /><br />\[ = 7 \]<br /><br />Para a terceira matriz menor:<br /><br />\[ \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} \]<br /><br />\[ = 2 \cdot (-3 \cdot 5 - 1 \cdot 2) - (-1) \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - (-3) \cdot 0) \