Sabe-se que as soluções da equação a seguir são pares ordenados da forma (a;b) . com aebin N a^2+b^2=a^3-2ab+b Se cada solução da equação dada representar um polígono P no plano cartesiano, a área de P, em unidades de área, será igual a: A 2 B 3 4 D 5

Para encontrar as soluções da equação dada, podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$$a^{2} + b^{2} = a^{3} - 2ab + b$$

$$a^{2} - a^{3} + 2ab - b = 0$$

$$a(a - 1) + b(2a - 1) = 0$$

A partir dessa equação, podemos ver que as soluções são pares ordenados da forma $$(a; b)$$ , onde $$a$$ e $$b$$ são números naturais.

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos que formam o polígono P no plano cartesiano. Podemos escolher alguns valores para $$a$$ e $$b$$ e verificar se eles satisfazem a equação.

Vamos começar com $$a = 1$$ :

$$1^{2} + b^{2} = 1^{3} - 2(1)b + b$$

$$1 + b^{2} = 1 - 2b + b$$

$$b^{2} = -b$$

Não há solução real para esse caso.

Agora, vamos tentar com $$a = 2$$ :

$$2^{2} + b^{2} = 2^{3} - 2(2)b + b$$

$$4 + b^{2} = 8 - 4b + b$$

$$b^{2} = -3b + 4$$

$$b^{2} + 3b - 4 = 0$$

$$(b + 4)(b - 1) = 0$$

$$b = -4$$ ou $$b = 1$$

Portanto, temos duas soluções possíveis: $$(2; -4)$$ e $$(2; 1)$$ .

Agora, vamos plotar esses pontos no plano cartesiano e encontrar a área do polígono P.

Podemos ver que o polígono P é um triângulo com vértices em $$(2; -4)$$ , $$(2; 1)$$ e $$(0; 0)$$ .

A área de um triângulo pode ser encontrada usando a fórmula:

$$A = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Substituindo as coordenadas dos pontos, temos:

$$A = \frac{1}{2} \cdot |2(1 - 0) + 2(0 - (-4)) + 0((-4) - 1)|$$

$$A = \frac{1}{2} \cdot |2 + 8 + 0|$$

$$A = \frac{1}{2} \cdot 10$$

$$A = 5$$

Portanto, a área do polígono P é igual a 5 unidades de área.

A resposta correta é a opção D) 5.