Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável > A segunda derivada da função y=f(x)=xcdot sen(x) é igual a: A y''=-xcdot sen(x)+2cdot cos(x) B y''=xcdot sen(x)-2cdot cos(x) C y''=-,sen(x) D y''=-2xcdot sen(x)+cdot cos(x)

Para encontrar a segunda derivada da função \( y = f(x) = x \cdot \sin(x) \), primeiro precisamos calcular a primeira derivada e depois derivar novamente.<br /><br />1. **Primeira Derivada:**<br /><br /> Usamos a regra do produto para derivar \( y = x \cdot \sin(x) \):<br /><br /> \[<br /> y' = \frac{d}{dx} (x \cdot \sin(x)) = x \cdot \cos(x) + \sin(x)<br /> \]<br /><br />2. **Segunda Derivada:**<br /><br /> Agora, derivamos a primeira derivada \( y' \):<br /><br /> \[<br /> y'' = \frac{d}{dx} (x \cdot \cos(x) + \sin(x))<br /> \]<br /><br /> Derivamos cada termo separadamente:<br /><br /> \[<br /> \frac{d}{dx} (x \cdot \cos(x)) = x \cdot (-\sin(x)) + \cos(x)<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)<br /> \]<br /><br /> Somando esses resultados:<br /><br /> \[<br /> y'' = -x \cdot \sin(x) + \cos(x) + \cos(x) = -x \cdot \sin(x) + 2 \cdot \cos(x)<br /> \]<br /><br />Portanto, a segunda derivada da função \( y = f(x) = x \cdot \sin(x) \) é:<br /><br />\[<br />y'' = -x \cdot \sin(x) + 2 \cdot \cos(x)<br />\]<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />A) \( y'' = -x \cdot \sin(x) + 2 \cdot \cos(x) \)