5 84,0) Seja f(x,y)= ) (x^3)/(x^2)+y^(2)&se&(x,y)neq (0,0) 0&se&(x,y)=(0,0) Calcule as derivadas parciais dc f,se possívcl. Determine os pontos de diferenciabilidade da função f. Boa prova!

Para calcular as derivadas parciais de \( f \), vamos considerar as duas possibilidades:<br /><br />1. Quando \( (x, y) \neq (0, 0) \):<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^2(x^2+y^2) - x^3(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^2(x^2+y^2) - x^3(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{3y^2x^2}{(x^2+y^2)^2} \]<br /><br />2. Quando \( (x, y) = (0, 0) \):<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3/(h^2+y^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h^2+y^2} = 0 \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k \to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^3/(x^2+k^2)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{x^2+k^2} = 0 \]<br /><br />Portanto, as derivadas parciais de \( f \) são:<br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3y^2x^2}{(x^2+y^2)^2} \]<br /><br />Os pontos de diferenciabilidade da função \( f \) são todos os pontos \( (x, y) \) onde as derivadas parciais existem. Neste caso, \( f \) é diferenciável em todos os pontos \( (x, y) \) exceto em \( (0, 0) \).