16) Um ponto material obedece a função horária: s=-30+5,t+5,t2(m,s),tgeqslant 0 Determine: a) o instante em que passa pela origem; b) a função horária da velocidade escalar; c) o instante em que muda de sentido.

Vamos resolver cada parte da questão:<br /><br />### a) O instante em que passa pela origem<br /><br />Para determinar o instante em que o ponto passa pela origem, precisamos encontrar o valor de \( t \) para o qual \( s(t) = 0 \).<br /><br />A função horária é dada por:<br />\[ s(t) = -30 + 5t + 5t^2 \]<br /><br />Igualamos a função a zero e resolvemos a equação:<br />\[ -30 + 5t + 5t^2 = 0 \]<br /><br />Multiplicamos toda a equação por -1 para torná-la mais fácil de resolver:<br />\[ 30 - 5t - 5t^2 = 0 \]<br /><br />Reescrevemos a equação:<br />\[ 5t^2 + 5t - 30 = 0 \]<br /><br />Dividimos toda a equação por 5:<br />\[ t^2 + t - 6 = 0 \]<br /><br />Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br />\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Onde \( a = 1 \), \( b = 1 \) e \( c = -6 \):<br />\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \]<br />\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]<br />\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} \]<br />\[ t = \frac{-1 \pm 5}{2} \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br />\[ t = \frac{4}{2} = 2 \]<br />\[ t = \frac{-6}{2} = -3 \]<br /><br />Como \( t \geq 0 \), o instante em que o ponto passa pela origem é:<br />\[ t = 2 \]<br /><br />### b) A função horária da velocidade escalar<br /><br />A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:<br />\[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \]<br /><br />Derivamos a função horária da posição:<br />\[ s(t) = -30 + 5t + 5t^2 \]<br /><br />\[ v(t) = \frac{d}{dt}(-30 + 5t + 5t^2) \]<br />\[ v(t) = 5 + 10t \]<br /><br />### c) O instante em que muda de sentido<br /><br />Para determinar o instante em que a velocidade muda de sentido, precisamos encontrar o valor de \( t \) para o qual \( v(t) = 0 \).<br /><br />A função horária da velocidade é:<br />\[ v(t) = 5 + 10t \]<br /><br />Igualamos a velocidade a zero e resolvemos a equação:<br />\[ 5 + 10t = 0 \]<br />\[ 10t = -5 \]<br />\[ t = -\frac{1}{2} \]<br /><br />Como \( t \geq 0 \), não há solução para \( t \geq 0 \). Portanto, a velocidade nunca muda de sentido para \( t \geq 0 \).<br /><br />### Resumo<br /><br />a) O instante em que o ponto passa pela origem é \( t = 2 \).<br /><br />b) A função horária da velocidade é \( v(t) = 5 + 10t \).<br /><br />c) O instante em que a velocidade muda de sentido não existe para \( t \geq 0 \).