1) CALCULE A DERIVADA DIRECIONAL DA funçāo f(x, y)=e^x^(8+y) NOPONTO a (1,-1) u=(0,1)

Para calcular a derivada direcional da função \( f(x, y) = e^{x^8 + y} \) no ponto \( (1, -1) \) na direção \( \mathbf{u} = (0, 1) \), podemos usar a fórmula da derivada direcional:<br /><br />\[ D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u} \]<br /><br />onde \( \nabla f(x, y) \) é o gradiente da função \( f(x, y) \) e \( \mathbf{u} \) é o vetor unitário na direção em que queremos calcular a derivada.<br /><br />Primeiro, vamos calcular o gradiente da função \( f(x, y) \):<br /><br />\[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]<br /><br />Calculando as derivadas parciais:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{x^8 + y} = 8x^7 e^{x^8 + y} \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{x^8 + y} = e^{x^8 + y} \]<br /><br />Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto \( (1, -1) \):<br /><br />\[ \nabla f(1, -1) = \left( 8(1)^7 e^{(1)^8 + (-1)}, e^{(1)^8 + (-1)} \right) = \left( 8e^0, e^0 \right) = \left( 8, 1 \right) \]<br /><br />Agora, podemos calcular a derivada direcional usando o vetor unitário \( \mathbf{u} = (0, 1) \):<br /><br />\[ D_{\mathbf{u}} f(1, -1) = \nabla f(1, -1) \cdot \mathbf{u} = (8, 1) \cdot (0, 1) = 8 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]<br /><br />Portanto, a derivada direcional da função \( f(x, y) = e^{x^8 + y} \) no ponto \( (1, -1) \) na direção \( \mathbf{u} = (0, 1) \) é igual a 1.